В холодильнике 6 бананов, 9 апельсинов и 10 яблок. Сколькими способами дети могут выбрать 2 банана, 2 апельсина и 4 яблока для приготовления фруктового салата?
Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторные методы. Нам нужно найти количество способов выбрать определенное количество фруктов из заданного их количества.
В данном случае у нас есть следующие фрукты:
- 6 бананов, из которых нужно выбрать 2
- 9 апельсинов, из которых нужно выбрать 2
- 10 яблок, из которых нужно выбрать 4
Чтобы найти количество способов выбора фруктов, мы будем использовать формулу для сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее количество предметов, \( k \) — количество предметов, которые мы хотим выбрать, и \( ! \) — факториал.
Теперь рассчитаем количество способов для каждого типа фруктов:
Выбор бананов: Мы хотим выбрать 2 банана из 6. Это можно записать как \( C(6, 2) \): \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]
Выбор апельсинов: Мы хотим выбрать 2 апельсина из 9. Это можно записать как \( C(9, 2) \): \[ C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36 \]
Выбор яблок: Мы хотим выбрать 4 яблока из 10. Это можно записать как \( C(10, 4) \): \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \]
Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать все фрукты, необходимо перемножить количество способов для каждого вида фруктов:
\[ \text{Общее количество способов} = C(6, 2) \cdot C(9, 2) \cdot C(10, 4) = 15 \cdot 36 \cdot 210 \]
Теперь вычислим это произведение:
Сначала вычислим \( 15 \cdot 36 \): \[ 15 \cdot 36 = 540 \]
Затем умножим результат на 210: \[ 540 \cdot 210 = 113400 \]
Таким образом, количество способов, которыми дети могут выбрать 2 банана, 2 апельсина и 4 яблока для приготовления фруктового салата, равно \( 113400 \).
