Обозначим скорость течения реки как ( v ) км/ч. Тогда при движении против течения скорость моторной лодки составит ( 9 - v ) км/ч, а при движении по течению — ( 9 + v ) км/ч.
Лодка прошла 80 км в обоих направлениях. Время, затраченное на путь против течения, и время на обратный путь можно выразить следующим образом:
Время пути против течения:
[
t_1 = \frac{80}{9 - v}
]
Время пути по течению:
[
t_2 = \frac{80}{9 + v}
]
Согласно условию задачи, время на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Это можно записать как:
[
t_1 = t_2 + 2
]
Подставим выражения для времени в уравнение:
[
\frac{80}{9 - v} = \frac{80}{9 + v} + 2
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( (9 - v)(9 + v) ), чтобы избавиться от дробей:
[
80(9 + v) = 80(9 - v) + 2(9 - v)(9 + v)
]
Раскроем скобки:
[
720 + 80v = 720 - 80v + 2(81 - v^2)
]
[
720 + 80v = 720 - 80v + 162 - 2v^2
]
Соберем все члены на одной стороне уравнения:
[
80v + 80v + 2v^2 = 162
]
[
2v^2 + 160v - 162 = 0
]
Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:
[
v^2 + 80v - 81 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 80^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 6400 + 324 = 6724
]
Теперь найдем корни уравнения с использованием формулы:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-80 \pm \sqrt{6724}}{2}
]
Посчитаем:
[
\sqrt{6724} = 82
]
[
v = \frac{-80 \pm 82}{2}
]
Теперь найдем два корня:
- ( v_1 = \frac{2}{2} = 1 )
- ( v_2 = \frac{-162}{2} = -81 ) (не может быть, так как скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, скорость течения реки:
[
v = 1 \text{ км/ч}
]
Ответ: скорость течения реки составляет 1 км/ч.
