Для нахождения общего вида первообразной функции ( f(x) = 3\sin(x) - \frac{5}{x^3} ), нужно определить интеграл этой функции. Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Разделим функцию на части
Функция состоит из двух частей:
- ( 3\sin(x) )
- ( -\frac{5}{x^3} )
Таким образом, мы можем найти первообразную для каждой части отдельно.
Шаг 2: Найдем первообразную для первой части
Для функции ( 3\sin(x) ) используем известное правило:
[
\int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C
]
Следовательно,
[
\int 3\sin(x) , dx = 3 \cdot (-\cos(x)) = -3\cos(x) + C_1
]
Шаг 3: Найдем первообразную для второй части
Теперь найдем первообразную для ( -\frac{5}{x^3} ):
[
\int -\frac{5}{x^3} , dx = -5 \int x^{-3} , dx
]
Для этого используем правило интегрирования степенной функции:
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \quad \text{при } n \neq -1
]
где ( n = -3 ):
[
\int x^{-3} , dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}
]
Теперь подставим:
[
-5 \int x^{-3} , dx = -5 \cdot \left(-\frac{1}{2x^2}\right) = \frac{5}{2x^2} + C_2
]
Шаг 4: Объединим результаты
Теперь, объединив обе части, мы получаем:
[
\int f(x) , dx = \int (3\sin(x) - \frac{5}{x^3}) , dx = -3\cos(x) + \frac{5}{2x^2} + C
]
Итог
Общий вид первообразной для функции ( f(x) = 3\sin(x) - \frac{5}{x^3} ) будет:
[
F(x) = -3\cos(x) + \frac{5}{2x^2} + C
]
где ( C ) — произвольная константа.
