найдите общий вид первообразных ждя функции f(x)=3sin - 5/x^3
Для нахождения общего вида первообразной функции \( f(x) = 3\sin(x) - \frac{5}{x^3} \), нужно определить интеграл этой функции. Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Разделим функцию на части
Функция состоит из двух частей:
- \( 3\sin(x) \)
- \( -\frac{5}{x^3} \)
Таким образом, мы можем найти первообразную для каждой части отдельно.
Шаг 2: Найдем первообразную для первой части
Для функции \( 3\sin(x) \) используем известное правило: \[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \]
Следовательно, \[ \int 3\sin(x) \, dx = 3 \cdot (-\cos(x)) = -3\cos(x) + C_1 \]
Шаг 3: Найдем первообразную для второй части
Теперь найдем первообразную для \( -\frac{5}{x^3} \): \[ \int -\frac{5}{x^3} \, dx = -5 \int x^{-3} \, dx \]
Для этого используем правило интегрирования степенной функции: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \quad \text{при } n \neq -1 \] где \( n = -3 \): \[ \int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2} \]
Теперь подставим: \[ -5 \int x^{-3} \, dx = -5 \cdot \left(-\frac{1}{2x^2}\right) = \frac{5}{2x^2} + C_2 \]
Шаг 4: Объединим результаты
Теперь, объединив обе части, мы получаем: \[ \int f(x) \, dx = \int (3\sin(x) - \frac{5}{x^3}) \, dx = -3\cos(x) + \frac{5}{2x^2} + C \]
Итог
Общий вид первообразной для функции \( f(x) = 3\sin(x) - \frac{5}{x^3} \) будет: \[ F(x) = -3\cos(x) + \frac{5}{2x^2} + C \] где \( C \) — произвольная константа.
