Чтобы найти общий вид первообразных функции ( f(x) = \frac{2}{\sin^2{x}} + \cos{x} ), начнем с разбиения функции на части, которые мы можем интегрировать.
Функция может быть разложена на два отдельных слагаемых:
- ( \frac{2}{\sin^2{x}} )
- ( \cos{x} )
Теперь найдем интегралы каждого из них.
1. Интеграл ( \frac{2}{\sin^2{x}} )
Выражение ( \frac{2}{\sin^2{x}} ) может быть переписано как ( 2 \cdot \csc^2{x} ). Зная, что ( \int \csc^2{x} , dx = -\cot{x} + C ), мы можем записать:
[
\int \frac{2}{\sin^2{x}} , dx = 2 \int \csc^2{x} , dx = 2(-\cot{x}) + C_1 = -2\cot{x} + C_1
]
2. Интеграл ( \cos{x} )
Интеграл функции ( \cos{x} ) известен и равен:
[
\int \cos{x} , dx = \sin{x} + C_2
]
Суммируем результаты
Теперь мы можем объединить результаты двух интегралов:
[
\int f(x) , dx = \int \left( \frac{2}{\sin^2{x}} + \cos{x} \right) dx = -2\cot{x} + \sin{x} + C
]
где ( C = C_1 + C_2 ) — произвольная константа интегрирования.
Ответ
Таким образом, общий вид первообразных для функции ( f(x) = \frac{2}{\sin^2{x}} + \cos{x} ) можно записать как:
[
\int f(x) , dx = -2\cot{x} + \sin{x} + C
]
где ( C ) — произвольная константа.
