найдите общий вид первообразных для функции f(x)=2/sin^2x + cosx

Чтобы найти общий вид первообразных функции \( f(x) = \frac{2}{\sin^2{x}} + \cos{x} \), начнем с разбиения функции на части, которые мы можем интегрировать.

Функция может быть разложена на два отдельных слагаемых:

1. \( \frac{2}{\sin^2{x}} \)
2. \( \cos{x} \)

Теперь найдем интегралы каждого из них.

1. Интеграл \( \frac{2}{\sin^2{x}} \)

Выражение \( \frac{2}{\sin^2{x}} \) может быть переписано как \( 2 \cdot \csc^2{x} \). Зная, что \( \int \csc^2{x} \, dx = -\cot{x} + C \), мы можем записать:

\[ \int \frac{2}{\sin^2{x}} \, dx = 2 \int \csc^2{x} \, dx = 2(-\cot{x}) + C_1 = -2\cot{x} + C_1 \]

2. Интеграл \( \cos{x} \)

Интеграл функции \( \cos{x} \) известен и равен:

\[ \int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C_2 \]

Суммируем результаты

Теперь мы можем объединить результаты двух интегралов:

\[ \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{2}{\sin^2{x}} + \cos{x} \right) dx = -2\cot{x} + \sin{x} + C \]

где \( C = C_1 + C_2 \) — произвольная константа интегрирования.

Ответ

Таким образом, общий вид первообразных для функции \( f(x) = \frac{2}{\sin^2{x}} + \cos{x} \) можно записать как:

\[ \int f(x) \, dx = -2\cot{x} + \sin{x} + C \]

где \( C \) — произвольная константа.