В лаборатории 10 физиков и 6 химиков. Сколькими способами можно составить рабочую группу, состоящую из 3 физиков и 2 химиков?

Чтобы решить задачу, нам нужно определить, сколькими способами мы можем выбрать 3 физиков из 10, а затем 2 химиков из 6. Давайте разберёмся с этим шаг за шагом, используя комбинаторику.

Шаг 1: Выбор физиков

Сначала посчитаем, сколько способов выбрать 3 физиков из 10. Это можно сделать с помощью формулы для сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \(n\) — общее количество предметов (в нашем случае физиков),
• \(k\) — количество предметов, которое мы хотим выбрать,
• \(n!\) — факториал числа \(n\).

Для нашей задачи:

• \(n = 10\) (физиков),
• \(k = 3\) (выбираем 3 физиков).

Подставим эти значения в формулу:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \]

Теперь упростим:

\[ C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} \]

Вычислим \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\):

\[ C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120 \]

Итак, количество способов выбрать 3 физиков из 10 равно 120.

Шаг 2: Выбор химиков

Теперь посчитаем, сколько способов выбрать 2 химиков из 6:

\[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \]

Упрощаем:

\[ C(6, 2) = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2! \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2!} \]

Здесь \(2! = 2 \times 1 = 2\):

\[ C(6, 2) = \frac{30}{2} = 15 \]

Итак, количество способов выбрать 2 химиков из 6 равно 15.

Шаг 3: Объединение результатов

Теперь мы можем объединить результаты, чтобы узнать общее количество способов составить группу из 3 физиков и 2 химиков. Это просто произведение количеств, которые мы нашли:

\[ \text{Общее количество способов} = C(10, 3) \times C(6, 2) \]

Подставим значения:

\[ \text{Общее количество способов} = 120 \times 15 = 1800 \]

Ответ

Таким образом, общее количество способов составить рабочую группу, состоящую из 3 физиков и 2 химиков, равно 1800.