х⁴=(4х-5)²
Давайте решим уравнение \(x^4 = (4x - 5)^2\) и подробно разберём каждый шаг.
Шаг 1: Раскроем скобки
Начнём с того, что раскроем правую часть уравнения:
\[ (4x - 5)^2 = (4x - 5)(4x - 5) = 16x^2 - 40x + 25 \]
Шаг 2: Перепишем уравнение
Теперь, подставим раскроенную правую часть обратно в уравнение:
\[ x^4 = 16x^2 - 40x + 25 \]
Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону
Сейчас мы хотим привести уравнение к стандартному виду, где все члены находятся с одной стороны:
\[ x^4 - 16x^2 + 40x - 25 = 0 \]
Шаг 4: Замена переменных
Можно попробовать решить это уравнение с помощью замены переменной. Обозначим \(u = x^2\). Тогда \(x^4\) станет \(u^2\) и \(16x^2\) станет \(16u\). Уравнение теперь будет выглядеть так:
\[ u^2 - 16u + 40x - 25 = 0 \]
Но у нас всё ещё присутствует переменная \(x\). Поскольку эта замена не даёт улучшений, давайте возвращаться к исходному уравнению.
Шаг 5: Применим метод подбора и вещественного деления
Постараемся найти корни уравнения путём перебора. Нам нужно проверить, есть ли целые решения.
Попробуем подставить \(x = 1\):
\[ 1^4 - 16(1^2) + 40(1) - 25 = 1 - 16 + 40 - 25 = 0 \]
Да, \(x = 1\) является корнем. Теперь разделим многочлен \(x^4 - 16x^2 + 40x - 25\) на \(x - 1\).
Шаг 6: Деление многочлена
Используем деление многочленов. После деления мы получим:
\[ x^4 - 16x^2 + 40x - 25 = (x - 1)(x^3 + x^2 - 15x + 25) \]
Шаг 7: Решение кубического уравнения
Теперь нам необходимо решить кубическое уравнение \(x^3 + x^2 - 15x + 25 = 0\).
Применяя метод подбора, проверяем простые корни:
- \(x = -5\): \[ (-5)^3 + (-5)^2 - 15(-5) + 25 = -125 + 25 + 75 + 25 = 0 \]
Так, \(x = -5\) также является корнем. Разделим многочлен \(x^3 + x^2 - 15x + 25\) на \(x + 5\).
После деления получим:
\[ x^3 + x^2 - 15x + 25 = (x + 5)(x^2 - 4) \]
Шаг 8: Окончательные корни
Теперь у нас есть два множителя:
- \(x - 1 = 0 \implies x = 1\)
- \(x + 5 = 0 \implies x = -5\)
- \(x^2 - 4 = 0 \implies x = 2 \quad \text{и} \quad x = -2\)
Ответ
Таким образом, мы нашли все корни уравнения: \[ x = 1, \quad x = -5, \quad x = 2, \quad x = -2 \]
