Решим данную систему уравнений методом подстановки. У нас есть два уравнения:
- ( \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 )
- ( \frac{3x}{2} - y = 6 )
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Начнем с первого уравнения. Упростим его и выразим ( y ) через ( x ).
Умножим все члены уравнения на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3), чтобы избавиться от дробей:
[
6 \cdot \left( \frac{x}{2} - \frac{y}{3} \right) = 6 \cdot 2
]
Получим:
[
3x - 2y = 12
]
Теперь выразим ( y ):
[
-2y = 12 - 3x
]
Умножим на -1:
[
2y = 3x - 12
]
И разделим на 2:
[
y = \frac{3x}{2} - 6
]
Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение
Теперь подставим найденное выражение для ( y ) во второе уравнение:
[
\frac{3x}{2} - y = 6
]
Подставим ( y ):
[
\frac{3x}{2} - \left( \frac{3x}{2} - 6 \right) = 6
]
Раскроем скобки:
[
\frac{3x}{2} - \frac{3x}{2} + 6 = 6
]
Это сокращается до:
[
6 = 6
]
Это верное равенство, поэтому система имеет бесконечно много решений. Мы можем выразить ( y ) через ( x ) или наоборот. В данном случае мы уже выразили ( y ):
[
y = \frac{3x}{2} - 6
]
Шаг 3: Запишем общее решение
Таким образом, общее решение системы уравнений можно записать как:
[
y = \frac{3x}{2} - 6, \quad x \in \mathbb{R}
]
Заключение
Система имеет бесконечно много решений, и любая пара ( (x, y) ), которая удовлетворяет выражению для ( y ), будет решением данной системы уравнений. Вы можете подставлять разные значения ( x ) и находить соответствующие значения ( y ).
