1

Чтобы решить этот интеграл, следуем классическим методам подстановки для упрощения выражения под корнем.

Интеграл:

\[ \int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 - 1}} \]

Применяем подстановку:

Для этого типа интегралов обычно используем тригонометрические подстановки. В данном случае, подходит гиперболическая функция, но мы рассмотрим стандартную тригонометрическую подстановку:

• Подставим \( x = \sec \theta \). Тогда \( dx = \sec \theta \tan \theta \, d\theta \).

Подставляем в интеграл:

1. Выражение под корнем: \[ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta \]

2. Интеграл становится: \[ \int \frac{\sec \theta \tan \theta \, d\theta}{\tan \theta} = \int \sec \theta \, d\theta \]

Интеграл от \(\sec \theta\):

Известно, что: \[ \int \sec \theta \, d\theta = \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C \]

Возвращаемся к переменной \( x \):

• Из подстановки \( x = \sec \theta \), значит \( \theta = \sec^{-1}(x) \).
• \(\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{x^2 - 1}\).

Подставляем обратно: \[ \sec \theta = x \] \[ \tan \theta = \sqrt{x^2 - 1} \]

Таким образом, интеграл в оригинальных переменных: \[ \ln |x + \sqrt{x^2 - 1}| + C \]

Ответ:

\[ \int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 - 1}} = \ln |x + \sqrt{x^2 - 1}| + C \]

Таким образом, мы выбрали функцию \( x = \sec \theta \) для упрощения интеграла и выполнили тригонометрическую подстановку для решения.