3

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 0 \), \( x = 3 \) и \( y = x^2 \), нужно вычислить определённый интеграл. Эти границы описывают участок плоскости, находящийся "под" параболой \( y = x^2 \) от \( x = 0 \) до \( x = 3 \).

1. Определение функции и границ интегрирования:

   • Нижняя граница: \( y = 0 \) (ось x).
   • Верхняя кривая: \( y = x^2 \).
   • Вертикальные границы: от \( x = 0 \) до \( x = 3 \).

2. Определение интеграла:

   Площадь можно найти, вычислив интеграл от нижней границы до верхней границы:

   \[ A = \int_{0}^{3} (x^2) \, dx \]

3. Вычисление интеграла:

   Найдём первообразную для функции \( x^2 \):

   \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]

   Подставим пределы интегрирования:

   \[ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \]

   \[ = \frac{27}{3} - 0 = 9 \]

4. Ответ:

   Площадь фигуры равна 9.

Таким образом, ответ на задание: 9.