Определите количество 12-ричных пятизначных чисел, в записи которых ровно одна цифра 7 и не более трёх цифр с числовым значением, превышающим 8.

Для решения задачи определим количество 12-ричных пятизначных чисел, в которых ровно одна цифра 7 и не более трёх цифр с числовым значением, превышающим 8. **Шаг 1: Определение 12-ричной системы счисления** В 12-ричной системе счисления используются цифры от 0 до 11, что включает в себя: - Цифры 0, 1, 2, ..., 9 (десятиричные) - Цифры A (10) и B (11) **Шаг 2: Условие задачи** Нам нужно получить пятизначные числа, в которых: - Есть ровно одна цифра 7 - Не более трех цифр больше 8 (то есть, цифры 9, A или B). **Шаг 3: Всевозможные позиции для цифры 7** Пятизначное число имеет позиции 1, 2, 3, 4 и 5. Если цифра 7 занимает одну из этих позиций, то в остальных четырех позициях могут находиться другие цифры, которые соответствуют условиям задачи. Поскольку «7» занимает одну позицию, мы можем рассмотреть 4 оставшиеся позиции. **Шаг 4: Возможные варианты для оставшихся позиций** Обозначим количество цифр, превышающих 8, которые могут находиться в оставшихся позициях. 1. **0 цифр больше 8:** В таком случае, оставшиеся цифры могут быть: - Только 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (всего 8 цифр). - У нас 3 свободные позиции — они могут принимать любые значения из 0-7, кроме 7 (так как 7 уже используется). Количество вариантов: \(8^3\) (так как на каждой из трех позиций у нас 8 вариантов). 2. **1 цифра больше 8:** Мы выбираем 1 позицию из 4 для цифры, превышающей 8, и 3 оставшиеся могут быть от 0 до 7. - Количество способов выбрать 1 позицию из 4: \(\binom{4}{1} = 4\) - Цифра больше 8 может быть: 9, A или B (всего 3 варианта) - Оставшиеся 3 цифры могут быть из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (8 вариантов). Количество вариантов: \(4 \cdot 3 \cdot 8^2\) 3. **2 цифры больше 8:** Выбираем 2 позиции из 4 для цифр больше 8: - Количество способов выбрать 2 позиции из 4: \(\binom{4}{2} = 6\) - Каждая цифра больше 8 может быть: 9, A или B (всего 3 варианта). На двух позициях 3 варианта: \(3^2\) - Оставшаяся 2 цифры могут быть из 0-7 (также 8 вариантов). Количество вариантов: \(6 \cdot 3^2 \cdot 8^1\) 4. **3 цифры больше 8:** Выбираем 3 позиции из 4: - Количество способов выбрать 3 позиции из 4: \(\binom{4}{3} = 4\) - На трех позициях 3 варианта: \(3^3\) - Оставшаяся 1 цифра может быть из 0-7 (и опять 8 вариантов). Количество вариантов: \(4 \cdot 3^3 \cdot 8^0\) **Шаг 5: Подсчет общего количества** Теперь сосчитаем все варианты: 1. **0 цифр > 8:** \(8^3 = 512\) 2. **1 цифра > 8:** \(4 \cdot 3 \cdot 8^2 = 4 \cdot 3 \cdot 64 = 768\) 3. **2 цифры > 8:** \(6 \cdot 3^2 \cdot 8^1 = 6 \cdot 9 \cdot 8 = 432\) 4. **3 цифры > 8:** \(4 \cdot 3^3 \cdot 8^0 = 4 \cdot 27 \cdot 1 = 108\) Теперь сложим все варианты: \[ 512 + 768 + 432 + 108 = 1820 \] **Ответ:** Количество 12-ричных пятизначных чисел, в записи которых ровно одна цифра 7 и не более трёх цифр с числовым значением, превышающим 8, равно 1820.