Определите количество 12-ричных пятизначных чисел, в записи которых ровно одна цифра 7 и не более трёх цифр с числовым значением, превышающим 8.

Для решения задачи определим количество 12-ричных пятизначных чисел, в которых ровно одна цифра 7 и не более трёх цифр с числовым значением, превышающим 8.

Шаг 1: Определение 12-ричной системы счисления
В 12-ричной системе счисления используются цифры от 0 до 11, что включает в себя:

• Цифры 0, 1, 2, ..., 9 (десятиричные)
• Цифры A (10) и B (11)

Шаг 2: Условие задачи
Нам нужно получить пятизначные числа, в которых:

• Есть ровно одна цифра 7
• Не более трех цифр больше 8 (то есть, цифры 9, A или B).

Шаг 3: Всевозможные позиции для цифры 7
Пятизначное число имеет позиции 1, 2, 3, 4 и 5. Если цифра 7 занимает одну из этих позиций, то в остальных четырех позициях могут находиться другие цифры, которые соответствуют условиям задачи.

Поскольку «7» занимает одну позицию, мы можем рассмотреть 4 оставшиеся позиции.

Шаг 4: Возможные варианты для оставшихся позиций
Обозначим количество цифр, превышающих 8, которые могут находиться в оставшихся позициях.

1. 0 цифр больше 8:
   В таком случае, оставшиеся цифры могут быть:

   • Только 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (всего 8 цифр).
   • У нас 3 свободные позиции — они могут принимать любые значения из 0-7, кроме 7 (так как 7 уже используется).

   Количество вариантов:
   \(8^3\) (так как на каждой из трех позиций у нас 8 вариантов).

2. 1 цифра больше 8:
   Мы выбираем 1 позицию из 4 для цифры, превышающей 8, и 3 оставшиеся могут быть от 0 до 7.

   • Количество способов выбрать 1 позицию из 4: \(\binom{4}{1} = 4\)
   • Цифра больше 8 может быть: 9, A или B (всего 3 варианта)
   • Оставшиеся 3 цифры могут быть из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (8 вариантов).

   Количество вариантов:
   \(4 \cdot 3 \cdot 8^2\)

3. 2 цифры больше 8:
   Выбираем 2 позиции из 4 для цифр больше 8:

   • Количество способов выбрать 2 позиции из 4: \(\binom{4}{2} = 6\)
   • Каждая цифра больше 8 может быть: 9, A или B (всего 3 варианта). На двух позициях 3 варианта: \(3^2\)
   • Оставшаяся 2 цифры могут быть из 0-7 (также 8 вариантов).

   Количество вариантов:
   \(6 \cdot 3^2 \cdot 8^1\)

4. 3 цифры больше 8:
   Выбираем 3 позиции из 4:

   • Количество способов выбрать 3 позиции из 4: \(\binom{4}{3} = 4\)
   • На трех позициях 3 варианта: \(3^3\)
   • Оставшаяся 1 цифра может быть из 0-7 (и опять 8 вариантов).

   Количество вариантов:
   \(4 \cdot 3^3 \cdot 8^0\)

Шаг 5: Подсчет общего количества
Теперь сосчитаем все варианты:

1. 0 цифр > 8:
   \(8^3 = 512\)

2. 1 цифра > 8:
   \(4 \cdot 3 \cdot 8^2 = 4 \cdot 3 \cdot 64 = 768\)

3. 2 цифры > 8:
   \(6 \cdot 3^2 \cdot 8^1 = 6 \cdot 9 \cdot 8 = 432\)

4. 3 цифры > 8:
   \(4 \cdot 3^3 \cdot 8^0 = 4 \cdot 27 \cdot 1 = 108\)

Теперь сложим все варианты:
\[ 512 + 768 + 432 + 108 = 1820 \]

Ответ:
Количество 12-ричных пятизначных чисел, в записи которых ровно одна цифра 7 и не более трёх цифр с числовым значением, превышающим 8, равно 1820.