Чтобы решить задачу, давайте обозначим начальную чистую прибыль магазина как ( P ). Затем, принимая во внимание, что чистая прибыль увеличивается на 20% каждый год, мы можем выразить чистую прибыль магазина через ( n ) полных лет по следующей формуле:
[ P_n = P \times (1 + 0.2)^n = P \times 1.2^n ]
Нам нужно найти такое ( n ), чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза, т.е. чтобы выполнялось неравенство:
[ P \times 1.2^n \geq 2.4 \times P ]
Мы можем сократить обе части неравенства на ( P ) (предполагая, что ( P > 0 )):
[ 1.2^n \geq 2.4 ]
Теперь нам нужно решить это неравенство. Для этого мы можем взять логарифм обеих сторон. Можно использовать логарифмы с основанием 10, либо натуральные логарифмы, но для удобства давайте использовать натуральные логарифмы:
[ \ln(1.2^n) \geq \ln(2.4) ]
Применяя свойства логарифмов, перезаписываем это как:
[ n \cdot \ln(1.2) \geq \ln(2.4) ]
Теперь делим обе стороны на ( \ln(1.2) ). Поскольку ( \ln(1.2) > 0 ), знак неравенства не изменится:
[ n \geq \frac{\ln(2.4)}{\ln(1.2)} ]
Теперь вычислим значения логарифмов:
- ( \ln(2.4) \approx 0.8755 )
- ( \ln(1.2) \approx 0.1823 )
Подставляем эти значения в формулу:
[ n \geq \frac{0.8755}{0.1823} \approx 4.81 ]
Так как ( n ) должно быть целым числом (мы говорим о полных годах), мы округляем это значение вверх, чтобы получить:
[ n \geq 5 ]
Таким образом, чтобы чистая прибыль магазина увеличилась не менее чем в 2,4 раза, должно пройти как минимум 5 полных лет.
