б) Чистая прибыль магазина увеличивается каждый год на 20%. Сколько полных лет должно пройти, чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза?

Чтобы решить задачу, давайте обозначим начальную чистую прибыль магазина как \( P \). Затем, принимая во внимание, что чистая прибыль увеличивается на 20% каждый год, мы можем выразить чистую прибыль магазина через \( n \) полных лет по следующей формуле:

\[ P_n = P \times (1 + 0.2)^n = P \times 1.2^n \]

Нам нужно найти такое \( n \), чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза, т.е. чтобы выполнялось неравенство:

\[ P \times 1.2^n \geq 2.4 \times P \]

Мы можем сократить обе части неравенства на \( P \) (предполагая, что \( P > 0 \)):

\[ 1.2^n \geq 2.4 \]

Теперь нам нужно решить это неравенство. Для этого мы можем взять логарифм обеих сторон. Можно использовать логарифмы с основанием 10, либо натуральные логарифмы, но для удобства давайте использовать натуральные логарифмы:

\[ \ln(1.2^n) \geq \ln(2.4) \]

Применяя свойства логарифмов, перезаписываем это как:

\[ n \cdot \ln(1.2) \geq \ln(2.4) \]

Теперь делим обе стороны на \( \ln(1.2) \). Поскольку \( \ln(1.2) > 0 \), знак неравенства не изменится:

\[ n \geq \frac{\ln(2.4)}{\ln(1.2)} \]

Теперь вычислим значения логарифмов:

• \( \ln(2.4) \approx 0.8755 \)
• \( \ln(1.2) \approx 0.1823 \)

Подставляем эти значения в формулу:

\[ n \geq \frac{0.8755}{0.1823} \approx 4.81 \]

Так как \( n \) должно быть целым числом (мы говорим о полных годах), мы округляем это значение вверх, чтобы получить:

\[ n \geq 5 \]

Таким образом, чтобы чистая прибыль магазина увеличилась не менее чем в 2,4 раза, должно пройти как минимум 5 полных лет.