Баскетболист Анатолий тренируется в бросках в корзину с шести метров. Тренер считает что Анатолий попадает в корзину в среднем 82 раза из 100 Анатолий бросает мяч 50 раз найдите…

Для решения задачи о вероятности попадания баскетболиста Анатолия в корзину, воспользуемся binomial distribution (биномиальным распределением), так как мы имеем дело с повторяющимся опытом (броски) с двумя возможными исходами (попадание или промах).

Шаг 1: Задание параметров

• Вероятность попадания в корзину \( p = 0.82 \)
• Вероятность промаха \( q = 1 - p = 0.18 \)
• Общее количество бросков \( n = 50 \)
• Нам нужно найти вероятность того, что Анатолий попадет в корзину не более 40 раз (\( k \leq 40 \)).

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность того, что из \( n \) попыток произойдет ровно \( k \) успехов (попаданий) описывается формулой биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( n! \) — факториал числа \( n \)

Наша задача — найти сумму вероятностей от \( k = 0 \) до \( k = 40 \):

\[ P(X \leq 40) = \sum_{k=0}^{40} P(X = k) \]

Шаг 3: Вычисление вероятностей

Ручной подсчет всех вероятностей по формуле для всех значений от 0 до 40 может быть утомительным, поэтому на практике чаще всего используются статистические функции или численные методы.

Однако, мы можем использовать нормальное приближение

Когда \( n \) велико, можно использовать нормальное распределение для приближенного расчета вероятности.

1. Среднее: \[ \mu = n \cdot p = 50 \cdot 0.82 = 41 \]

2. Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{50 \cdot 0.82 \cdot 0.18} \approx \sqrt{7.38} \approx 2.72 \]

3. Используем стандартную нормализацию: Чтобы найти \( P(X \leq 40) \), найдем Z-значение: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{40 - 41}{2.72} \approx -0.37 \]

4. Значение из таблицы нормального распределения: Принимая \( Z \approx -0.37 \), находим вероятность в стандартной таблице нормального распределения. Это значение примерно равно 0.3557.

Шаг 4: Ответ

Таким образом, вероятность того, что Анатолий попадет в корзину не более 40 раз из 50 бросков примерно равна \( P(X \leq 40) \approx 0.3557 \) или 35.57%.

Так, в результате мы получили ответ, что вероятность того, что Анатолий попадет в корзину 40 раз или меньше, составляет approximately 35.57%.