Для решения задачи о вероятности попадания баскетболиста Анатолия в корзину, воспользуемся binomial distribution (биномиальным распределением), так как мы имеем дело с повторяющимся опытом (броски) с двумя возможными исходами (попадание или промах).
Шаг 1: Задание параметров
- Вероятность попадания в корзину ( p = 0.82 )
- Вероятность промаха ( q = 1 - p = 0.18 )
- Общее количество бросков ( n = 50 )
- Нам нужно найти вероятность того, что Анатолий попадет в корзину не более 40 раз (( k \leq 40 )).
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что из ( n ) попыток произойдет ровно ( k ) успехов (попаданий) описывается формулой биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} )
- ( n! ) — факториал числа ( n )
Наша задача — найти сумму вероятностей от ( k = 0 ) до ( k = 40 ):
[
P(X \leq 40) = \sum_{k=0}^{40} P(X = k)
]
Шаг 3: Вычисление вероятностей
Ручной подсчет всех вероятностей по формуле для всех значений от 0 до 40 может быть утомительным, поэтому на практике чаще всего используются статистические функции или численные методы.
Однако, мы можем использовать нормальное приближение
Когда ( n ) велико, можно использовать нормальное распределение для приближенного расчета вероятности.
Среднее:
[
\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0.82 = 41
]
Стандартное отклонение:
[
\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{50 \cdot 0.82 \cdot 0.18} \approx \sqrt{7.38} \approx 2.72
]
Используем стандартную нормализацию:
Чтобы найти ( P(X \leq 40) ), найдем Z-значение:
[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{40 - 41}{2.72} \approx -0.37
]
Значение из таблицы нормального распределения:
Принимая ( Z \approx -0.37 ), находим вероятность в стандартной таблице нормального распределения. Это значение примерно равно 0.3557.
Шаг 4: Ответ
Таким образом, вероятность того, что Анатолий попадет в корзину не более 40 раз из 50 бросков примерно равна ( P(X \leq 40) \approx 0.3557 ) или 35.57%.
Так, в результате мы получили ответ, что вероятность того, что Анатолий попадет в корзину 40 раз или меньше, составляет approximately 35.57%.
