Найти промежутки и монотонности и след функции
Давайте разберем функцию \( f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2 \) и найдем промежутки монотонности.
Шаг 1: Найдите производную
Найдем первую производную функции, чтобы определить её критические точки и промежутки монотонности.
\[ f'(x) = \left( -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2 \right)' = -x^2 + x. \]
Шаг 2: Найдите критические точки
Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:
\[ -x^2 + x = 0. \]
Выносим \( x \) за скобки:
\[ x(-x + 1) = 0. \]
Отсюда получаем два решения:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1. \]
Шаг 3: Определение знаков производной
Разделим числовую ось на промежутки, используя критические точки \( x = 0 \) и \( x = 1 \):
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 1) \)
- \( (1, \infty) \)
Проверим знаки производной на каждом из этих промежутков:
Для \( x \in (-\infty, 0) \), выберем \( x = -1 \): \[ f'(-1) = -(-1)^2 + (-1) = -1 - 1 = -2 \quad (\text{отрицательное}). \]
Для \( x \in (0, 1) \), выберем \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = -(0.5)^2 + 0.5 = -0.25 + 0.5 = 0.25 \quad (\text{положительное}). \]
Для \( x \in (1, \infty) \), выберем \( x = 2 \): \[ f'(2) = -(2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2 \quad (\text{отрицательное}). \]
Шаг 4: Определение промежутков монотонности
- На \( (-\infty, 0) \), функция убывает.
- На \( (0, 1) \), функция возрастает.
- На \( (1, \infty) \), функция убывает.
Шаг 5: Вывод
Таким образом, функция убывает на \( (-\infty, 0) \) и \( (1, \infty) \), и возрастает на \( (0, 1) \).
