Для начала давайте обозначим четыре последовательных натуральных числа. Пусть первое из этих чисел будет ( n ). Тогда следующие три числа будут ( n+1 ), ( n+2 ) и ( n+3 ).
Теперь вычислим сумму квадратов этих четырех чисел:
[
A = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2
]
Раскроем скобки:
[
A = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 6n + 9)
]
Теперь соберем все подобные термины:
[
A = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9
]
Сложим все ( n^2 ):
[
4n^2 + (2n + 4n + 6n) + (1 + 4 + 9)
]
Это упрощается до:
[
A = 4n^2 + 12n + 14
]
Теперь мы хотим найти остаток от деления ( A ) на 4. Чтобы это сделать, упростим выражение ( A ) по модулю 4.
Первый член ( 4n^2 ) по модулю 4:
[
4n^2 \mod 4 = 0
]
Второй член ( 12n ) также по модулю 4:
[
12n \mod 4 = 0
]
А вот третий член ( 14 ) по модулю 4:
[
14 \mod 4 = 2
]
Теперь суммируем все остатки:
[
A \mod 4 = 0 + 0 + 2 = 2
]
Таким образом, остаток от деления числа ( A ) на 4 равен 2.
