Фото

Рассмотрим уравнение:

\[ (x - 4)^4 - 4(x - 4)^2 - 21 = 0 \]

Сделаем замену: пусть \( y = (x - 4)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 4y - 21 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение относительно \( y \). Для этого найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-21) = 16 + 84 = 100 \]

Поскольку дискриминант равен 100, у нас есть два действительных корня:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 10}{2} \]

Вычислим корни:

\[ y_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7 \] \[ y_2 = \frac{4 - 10}{2} = -3 \]

У нас есть два значения для \( y \), теперь вернемся к переменной \( x \).

Для \( y = 7 \), имеем:

\[ (x - 4)^2 = 7 \]

Решим относительно \( x \):

\[ x - 4 = \pm \sqrt{7} \]

Таким образом,

\[ x = 4 \pm \sqrt{7} \]

Для \( y = -3 \), уравнение не имеет действительных решений, поскольку:

\[ (x - 4)^2 = -3 \]

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому решения отсутствуют.

Итак, окончательные решения уравнения:

\[ x = 4 + \sqrt{7} \quad \text{или} \quad x = 4 - \sqrt{7} \]