Рассмотрим уравнение:
[
(x - 4)^4 - 4(x - 4)^2 - 21 = 0
]
Сделаем замену: пусть ( y = (x - 4)^2 ). Тогда уравнение примет вид:
[
y^2 - 4y - 21 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение относительно ( y ). Для этого найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-21) = 16 + 84 = 100
]
Поскольку дискриминант равен 100, у нас есть два действительных корня:
[
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 10}{2}
]
Вычислим корни:
[
y_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7
]
[
y_2 = \frac{4 - 10}{2} = -3
]
У нас есть два значения для ( y ), теперь вернемся к переменной ( x ).
Для ( y = 7 ), имеем:
[
(x - 4)^2 = 7
]
Решим относительно ( x ):
[
x - 4 = \pm \sqrt{7}
]
Таким образом,
[
x = 4 \pm \sqrt{7}
]
Для ( y = -3 ), уравнение не имеет действительных решений, поскольку:
[
(x - 4)^2 = -3
]
Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому решения отсутствуют.
Итак, окончательные решения уравнения:
[
x = 4 + \sqrt{7} \quad \text{или} \quad x = 4 - \sqrt{7}
]
