34. Катеты прямоугольного треугольника равны 2/21 и 4. Найдите синус наимень-шего угла этого треугольника.
Чтобы найти синус наименьшего угла прямоугольного треугольника с катетами 2/21 и 4, давайте последовательно разберем все шаги.
Определение углов треугольника: В прямоугольном треугольнике наименьший угол будет противостоять меньшему катету. В данном случае меньший катет равен \( \frac{2}{21} \), а больший катет равен \( 4 \).
Формула для синуса угла: Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. То есть: \[ \sin(A) = \frac{\text{длина противолежащего катета}}{\text{длина гипотенузы}} \]
Найдем гипотенузу: Для этого используем теорему Пифагора. По теореме Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты. В нашем случае: \[ a = \frac{2}{21}, \quad b = 4 \] Подставляем значения: \[ c^2 = \left(\frac{2}{21}\right)^2 + 4^2 \] Вычислим каждое слагаемое: \[ \left(\frac{2}{21}\right)^2 = \frac{4}{441} \] \[ 4^2 = 16 = \frac{16 \cdot 441}{441} = \frac{7056}{441} \] теперь складываем: \[ c^2 = \frac{4}{441} + \frac{7056}{441} = \frac{7060}{441} \] Теперь находим \( c \): \[ c = \sqrt{\frac{7060}{441}} = \frac{\sqrt{7060}}{21} \]
Находим синус угла: Теперь, когда мы знаем гипотенузу, можем найти синус наименьшего угла: \[ \sin(A) = \frac{\frac{2}{21}}{c} = \frac{\frac{2}{21}}{\frac{\sqrt{7060}}{21}} = \frac{2}{\sqrt{7060}} \]
Упрощаем выражение (по желанию): Если нужно, мы можем рационализировать знаменатель: \[ \sin(A) = \frac{2\sqrt{7060}}{7060} \]
Таким образом, синус наименьшего угла этого прямоугольного треугольника равен \( \frac{2}{\sqrt{7060}} \) или \( \frac{2\sqrt{7060}}{7060} \).
Это и будет окончательным ответом. Если есть дополнительные вопросы или понадобятся уточнения, спрашивайте!
