Для того чтобы найти первый член геометрической прогрессии ( b_1 ), где известны четвертый ( b_4 ) и седьмой ( b_7 ) члены, воспользуемся свойствами геометрической прогрессии.
В геометрической прогрессии каждый член можно выразить через первый член и знаменатель ( q ) прогрессии:
[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
]
Таким образом, для четвертого и седьмого членов можно записать:
[
b_4 = b_1 \cdot q^{3} = -135
]
[
b_7 = b_1 \cdot q^{6} = -3645
]
Теперь, чтобы выразить ( q ) через ( b_1 ), мы можем воспользоваться отношением ( b_7 ) и ( b_4 ):
[
\frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^6}{b_1 \cdot q^3} = q^{3}
]
Подставляем известные значения:
[
\frac{-3645}{-135} = q^3
]
Упрощаем дробь:
[
\frac{-3645}{-135} = 27 \Rightarrow q^3 = 27
]
Теперь найдем ( q ):
[
q = 27^{1/3} = 3
]
Теперь, зная ( q ), можем подставить его обратно в одно из уравнений, чтобы найти ( b_1 ). Используем первое уравнение для ( b_4 ):
[
-135 = b_1 \cdot 3^{3}
]
Так как ( 3^3 = 27 ), у нас получится:
[
-135 = b_1 \cdot 27
]
Теперь найдём ( b_1 ):
[
b_1 = \frac{-135}{27} = -5
]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии:
[
\boxed{-5}
]
Проверка
Теперь проверим, правильно ли мы нашли члены прогрессии.
Согласно найденным значениям:
- Первый член ( b_1 = -5 )
- Знаменатель ( q = 3 )
Вычислим четвертый и седьмой члены:
[
b_4 = b_1 \cdot q^{3} = -5 \cdot 3^{3} = -5 \cdot 27 = -135 \quad \text{(верно)}
]
[
b_7 = b_1 \cdot q^{6} = -5 \cdot 3^{6} = -5 \cdot 729 = -3645 \quad \text{(верно)}
]
Таким образом, наше решение корректно. Первый член прогрессии действительно равен ( \boxed{-5} ).
