Найди первый член геометрической прогрессии, если b 4 = − 135 b 4 =−135 и b 7 = − 3645 b 7 =−3645 .

Для того чтобы найти первый член геометрической прогрессии \( b_1 \), где известны четвертый \( b_4 \) и седьмой \( b_7 \) члены, воспользуемся свойствами геометрической прогрессии.

В геометрической прогрессии каждый член можно выразить через первый член и знаменатель \( q \) прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

Таким образом, для четвертого и седьмого членов можно записать:

\[ b_4 = b_1 \cdot q^{3} = -135 \] \[ b_7 = b_1 \cdot q^{6} = -3645 \]

Теперь, чтобы выразить \( q \) через \( b_1 \), мы можем воспользоваться отношением \( b_7 \) и \( b_4 \):

\[ \frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^6}{b_1 \cdot q^3} = q^{3} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{-3645}{-135} = q^3 \]

Упрощаем дробь:

\[ \frac{-3645}{-135} = 27 \Rightarrow q^3 = 27 \]

Теперь найдем \( q \):

\[ q = 27^{1/3} = 3 \]

Теперь, зная \( q \), можем подставить его обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( b_1 \). Используем первое уравнение для \( b_4 \):

\[ -135 = b_1 \cdot 3^{3} \]

Так как \( 3^3 = 27 \), у нас получится:

\[ -135 = b_1 \cdot 27 \]

Теперь найдём \( b_1 \):

\[ b_1 = \frac{-135}{27} = -5 \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии:

\[ \boxed{-5} \]

Проверка

Теперь проверим, правильно ли мы нашли члены прогрессии. Согласно найденным значениям:

• Первый член \( b_1 = -5 \)
• Знаменатель \( q = 3 \)

Вычислим четвертый и седьмой члены:

\[ b_4 = b_1 \cdot q^{3} = -5 \cdot 3^{3} = -5 \cdot 27 = -135 \quad \text{(верно)} \] \[ b_7 = b_1 \cdot q^{6} = -5 \cdot 3^{6} = -5 \cdot 729 = -3645 \quad \text{(верно)} \]

Таким образом, наше решение корректно. Первый член прогрессии действительно равен \( \boxed{-5} \).