Чтобы вычислить значение выражения ((\mathbf{m} + \mathbf{n}) \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{k})), подставим заданные векторы (\mathbf{m}), (\mathbf{n}), (\mathbf{b}), и (\mathbf{k}).
Дано:
[
\mathbf{m} = \begin{pmatrix} 3 \ -7 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 9 \ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{k} = \begin{pmatrix} -3 \ 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix}
]
Шаг 1: Сложим векторы (\mathbf{m}) и (\mathbf{n})
Сложение векторов происходит поэлементно:
[
\mathbf{m} + \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 3 + 9 \ -7 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \ -6 \end{pmatrix}
]
Шаг 2: Вычтем векторы (\mathbf{b}) и (\mathbf{k})
Вычитание векторов также происходит поэлементно:
[
\mathbf{b} - \mathbf{k} = \begin{pmatrix} 2 - (-3) \ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 \ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ -1 \end{pmatrix}
]
Шаг 3: Умножим результаты
Теперь нам нужно перемножить два полученных вектора:
[
\begin{pmatrix} 12 \ -6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \ -1 \end{pmatrix} = 12 \cdot 5 + (-6) \cdot (-1)
]
Шаг 4: Выполним вычисление
Теперь вычислим скалярное произведение:
[
12 \cdot 5 = 60
]
[
(-6) \cdot (-1) = 6
]
Складываем результаты:
[
60 + 6 = 66
]
Итог
Таким образом, значение выражения ((\mathbf{m} + \mathbf{n}) \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{k})) равно (66).
