. Радиус окружности, вписанный в правильный треугольник, равен 12,3 см. Найти сторону треугольника и его площадь
Чтобы найти сторону правильного треугольника и его площадь с известным радиусом вписанной окружности, следуем следующим шагам:
Отношение радиуса вписанной окружности и стороны треугольника: Для правильного треугольника (треугольника с равными сторонами) радиус вписанной окружности \( r \) связан со стороной \( a \) по формуле: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Здесь \( a \) — длина стороны треугольника.
У нас есть значение радиуса \( r = 12,3 \) см. Подставим это значение в формулу и найдем \( a \): \[ 12,3 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]
Решение уравнения: Умножим обе стороны уравнения на 6: \[ 6 \times 12,3 = a \sqrt{3} \] \[ 73,8 = a \sqrt{3} \]
Теперь решим для \( a \): \[ a = \frac{73,8}{\sqrt{3}} \]
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, можем умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \[ a = \frac{73,8 \sqrt{3}}{3} \] \[ a \approx \frac{73,8 \times 1,732}{3} \approx \frac{127,17}{3} \approx 42,39 \text{ см} \]
Нахождение площади треугольника: Площадь \( S \) правильного треугольника может быть найдена по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставляя значение \( a \): \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(42,39\right)^2 \] Сначала вычислим \( (42,39)^2 \): \[ (42,39)^2 \approx 1795,68 \] Затем подставим в формулу площади: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1795,68 \approx 0,433 \times 1795,68 \approx 777,22 \text{ см}^2 \]
Таким образом, мы нашли длину стороны правильного треугольника и его площадь.
- Длина стороны треугольника: приблизительно \( 42,39 \) см.
- Площадь треугольника: приблизительно \( 777,22 \) см².
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
