Для решения задачи о нахождении объёма цилиндра, вписанного в конус, начнём с формул для объёмов конуса и цилиндра, а также используем информацию, которую мы имеем.
Дано:
- Объём конуса ( V_{конус} = 72 ) кубических единиц.
- Высота конуса ( h_{конус} = 2h_{цилиндра} ).
Формулы:
- Объём конуса ( V_{конус} = \frac{1}{3} \pi R^2 h_{конус} ), где ( R ) — радиус основания конуса, ( h_{конус} ) — высота конуса.
- Объём цилиндра ( V_{цилиндр} = \pi r^2 h_{цилиндр} ), где ( r ) — радиус основания цилиндра, ( h_{цилиндр} ) — высота цилиндра.
Шаг 1: Выразим высоты.
Пусть высота цилиндра равна ( h ). Тогда высота конуса:
[ h_{конус} = 2h. ]
Шаг 2: Подставим высоту конуса в формулу объёма конуса.
Теперь подставим высоту конуса в формулу объёма:
[
V_{конус} = \frac{1}{3} \pi R^2 (2h) = \frac{2}{3} \pi R^2 h.
]
Поскольку ( V_{конус} = 72 ):
[
\frac{2}{3} \pi R^2 h = 72.
]
Шаг 3: Упростим это уравнение.
Умножим обе стороны на (\frac{3}{2}):
[
\pi R^2 h = 108.
]
Шаг 4: Раскроем радиусы цилиндра и конуса.
Для цилиндра, который вписан в конус, радиус основания цилиндра ( r ) будет равен радиусу основания конуса ( R ). Это означает, что:
[ r = R. ]
Шаг 5: Найдём объём цилиндра.
Теперь можем выразить объём цилиндра через радиус ( R ) и высоту ( h ):
[
V_{цилиндр} = \pi r^2 h = \pi R^2 h.
]
Подставим ( \pi R^2 h ) из нашего уравнения:
[
V_{цилиндр} = \frac{1}{2} \times 108 = 54.
]
Ответ:
Объём цилиндра равен ( 54 ) кубических единиц.
Таким образом, мы подошли к решению задачи, используя свойства фигур и зависимости их размеров.
