> CA = 135 см; CB = 72 см. Найди АВ и синус и косинус угла В=45°. (В ответе дроби сократи до несократимого вида!) Ответ: AB = см; sin B B
Для решения задачи, давайте используем известные данные: стороны треугольника и угол, который нам дан.
Дано:
- Длина стороны CA = 135 см
- Длина стороны CB = 72 см
- Угол B = 45°
Вы хотите найти сторону AB и значения синуса и косинуса угла B.
Шаг 1: Используем теорему косинусов
В треугольниках мы можем использовать теорему косинусов. Формула теоремы косинусов выглядит так: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] где:
- \(c\) — искомая сторона AB,
- \(a\) = CA,
- \(b\) = CB,
- \(C\) — угол, противолежащий искомой стороне.
Подставим известные значения:
- \(a = 135\),
- \(b = 72\),
- \(C = 45^\circ\).
Сначала найдем \(\cos(45^\circ)\): \[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Теперь подставим все в формулу: \[ AB^2 = 135^2 + 72^2 - 2 \cdot 135 \cdot 72 \cdot \cos(45^\circ) \] \[ AB^2 = 135^2 + 72^2 - 2 \cdot 135 \cdot 72 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Сначала найдем квадрат сторон: \[ 135^2 = 18225, \] \[ 72^2 = 5184. \] Теперь подставим эти значения: \[ AB^2 = 18225 + 5184 - 135 \cdot 72 \cdot \sqrt{2} \]
Теперь нам нужно найти \(135 \cdot 72\): \[ 135 \cdot 72 = 9720. \] Подставим это значение: \[ AB^2 = 18225 + 5184 - 9720 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Теперь вычислим: \[ AB^2 = 18225 + 5184 - 4860\sqrt{2}. \]
Шаг 2: Вычисление AB
В данном случае нельзя выразить AB без численного значения \(\sqrt{2}\), и чтобы найти это значние, нам нужно будет вычислить корень. Таким образом, \(AB\) будет равно: \[ AB = \sqrt{18225 + 5184 - 4860\sqrt{2}}. \]
Шаг 3: Найдем синус и косинус угла B
Теперь найдем значения синуса и косинуса угла B, которые нам даны. Это просто: \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \] \[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Итоговые ответы
Таким образом, итоговые результаты:
- \(AB\) = \(\sqrt{18225 + 5184 - 4860\sqrt{2}}\) см,
- \(\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}\),
- \(\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Если вам нужно получить конкретные численные значения, можете заменить \(\sqrt{2}\) на его приближенное значение ~1.41421356, и тогда вы сможете получить численное значение для длины AB.
