Для решения задачи начнем с формулы, связывающей индуктивность (L) и емкость (C) в колебательном контуре с частотой колебаний (f):
[
f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
]
где:
- ( f ) — частота колебаний в герцах (Гц),
- ( L ) — индуктивность в генри (Гн),
- ( C ) — емкость в фарадах (Ф).
В данном случае нам дана индуктивность ( L = 20 , \mu H = 20 \times 10^{-6} , H ) и частота ( f = 50 , kHz = 50 \times 10^3 , Hz ).
Шаг 1: Подставим известные значения в формулу
Подставим частоту и индуктивность в формулу:
[
50 \times 10^3 = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-6} \cdot C}}
]
Шаг 2: Изолируем C
Сначала возьмем обратную сторону:
[
2\pi\sqrt{20 \times 10^{-6} \cdot C} = \frac{1}{50 \times 10^3}
]
Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
[
(2\pi)^2(20 \times 10^{-6} \cdot C) = \left(\frac{1}{50 \times 10^3}\right)^2
]
Шаг 3: Рассчитаем каждую сторону
Сначала посчитаем левой части:
[
(2\pi)^2 = 4\pi^2 \approx 39.478
]
Теперь при умножении:
[
39.478 \cdot 20 \times 10^{-6} \cdot C = \frac{1}{(50 \times 10^3)^2}
]
Преобразуем правую часть:
[
(50 \times 10^3)^2 = 2500 \times 10^6
]
Итак, теперь можем записать уравнение:
[
39.478 \cdot 20 \times 10^{-6} \cdot C = \frac{1}{2500 \times 10^6}
]
Шаг 4: Решение для C
Теперь выразим ( C ):
[
C = \frac{1}{2500 \times 10^6 \cdot (39.478 \cdot 20 \times 10^{-6})}
]
Посчитаем значение (39.478 \cdot 20 \times 10^{-6}):
[
39.478 \cdot 20 = 789.56 , \mu H
]
Теперь подставим это значение:
[
C = \frac{1}{2500 \times 10^6 \cdot 789.56 \times 10^{-6}}
]
Затем, перемножим и упростим:
[
C = \frac{1}{2500 \times 789.56} \times 10^{-6} = \frac{1}{1973900} \times 10^{-6} , F
]
Приблизительно:
[
C \approx 5.06 , nF
]
Ответ
Таким образом, необходимая емкость конденсатора для получения колебаний с частотой 50 кГц при индуктивности 20 мкГн составляет примерно 5.06 нФ.
