1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 20 мкГн. Какой емкости конденсатор следует подключить к контуру, чтобы получить колебания с частотой кГц? 50 Дано СИ…

Для решения задачи начнем с формулы, связывающей индуктивность (L) и емкость (C) в колебательном контуре с частотой колебаний (f):

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

где:

• \( f \) — частота колебаний в герцах (Гц),
• \( L \) — индуктивность в генри (Гн),
• \( C \) — емкость в фарадах (Ф).

В данном случае нам дана индуктивность \( L = 20 \, \mu H = 20 \times 10^{-6} \, H \) и частота \( f = 50 \, kHz = 50 \times 10^3 \, Hz \).

Шаг 1: Подставим известные значения в формулу

Подставим частоту и индуктивность в формулу:

\[ 50 \times 10^3 = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-6} \cdot C}} \]

Шаг 2: Изолируем C

Сначала возьмем обратную сторону:

\[ 2\pi\sqrt{20 \times 10^{-6} \cdot C} = \frac{1}{50 \times 10^3} \]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[ (2\pi)^2(20 \times 10^{-6} \cdot C) = \left(\frac{1}{50 \times 10^3}\right)^2 \]

Шаг 3: Рассчитаем каждую сторону

Сначала посчитаем левой части:

\[ (2\pi)^2 = 4\pi^2 \approx 39.478 \]

Теперь при умножении:

\[ 39.478 \cdot 20 \times 10^{-6} \cdot C = \frac{1}{(50 \times 10^3)^2} \]

Преобразуем правую часть:

\[ (50 \times 10^3)^2 = 2500 \times 10^6 \]

Итак, теперь можем записать уравнение:

\[ 39.478 \cdot 20 \times 10^{-6} \cdot C = \frac{1}{2500 \times 10^6} \]

Шаг 4: Решение для C

Теперь выразим \( C \):

\[ C = \frac{1}{2500 \times 10^6 \cdot (39.478 \cdot 20 \times 10^{-6})} \]

Посчитаем значение \(39.478 \cdot 20 \times 10^{-6}\):

\[ 39.478 \cdot 20 = 789.56 \, \mu H \]

Теперь подставим это значение:

\[ C = \frac{1}{2500 \times 10^6 \cdot 789.56 \times 10^{-6}} \]

Затем, перемножим и упростим:

\[ C = \frac{1}{2500 \times 789.56} \times 10^{-6} = \frac{1}{1973900} \times 10^{-6} \, F \]

Приблизительно:

\[ C \approx 5.06 \, nF \]

Ответ

Таким образом, необходимая емкость конденсатора для получения колебаний с частотой 50 кГц при индуктивности 20 мкГн составляет примерно 5.06 нФ.