Реши неравенство

Давайте разберёмся с решением данного неравенства. Ваше задание — решить неравенство: \[ \frac{1}{x-3} \leq \frac{1}{x+3} \] ### Шаг 1: Приведение к общему знаменателю Преобразуем левую и правую части, приведя их к общему знаменателю: \[ \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+3} \leq 0 \] Общий знаменатель будет \((x-3)(x+3)\). Перепишем: \[ \frac{(x+3) - (x-3)}{(x-3)(x+3)} \leq 0 \] \[ \frac{x+3-x+3}{(x-3)(x+3)} \leq 0 \] \[ \frac{6}{(x-3)(x+3)} \leq 0 \] ### Шаг 2: Анализ знака числителя и знаменателя Так как числитель \(6\) всегда положителен, неравенство будет выполняться, когда знаменатель отрицателен: \((x-3)(x+3) < 0\) ### Шаг 3: Нахождение промежутков Найдём точки, в которых знаменатель меняет знак: - \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) - \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\) Разобьём числовую ось на промежутки с учётом этих точек: - \((-∞, -3)\) - \((-3, 3)\) - \((3, +∞)\) Знаки выражения \((x-3)(x+3)\) на каждом из промежутков: - На \((-∞, -3)\): оба множителя отрицательны, их произведение положительно. - На \((-3, 3)\): множители имеют разные знаки, произведение отрицательно. - На \((3, +∞)\): оба множителя положительны, их произведение положительно. ### Шаг 4: Решение неравенства Неравенство выполняется на промежутке \((-3, 3)\), где произведение отрицательно. ### Ответ Находим решение: \(x \in (-3, 3)\). Это значит, неравенство выполняется, когда \(x\) находится в пределах от \(-3\) до \(3\), не включая сами точки \(-3\) и \(3\).