Реши неравенство
Давайте разберёмся с решением данного неравенства. Ваше задание — решить неравенство:
\[ \frac{1}{x-3} \leq \frac{1}{x+3} \]
Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Преобразуем левую и правую части, приведя их к общему знаменателю:
\[ \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+3} \leq 0 \]
Общий знаменатель будет \((x-3)(x+3)\). Перепишем:
\[ \frac{(x+3) - (x-3)}{(x-3)(x+3)} \leq 0 \]
\[ \frac{x+3-x+3}{(x-3)(x+3)} \leq 0 \]
\[ \frac{6}{(x-3)(x+3)} \leq 0 \]
Шаг 2: Анализ знака числителя и знаменателя
Так как числитель \(6\) всегда положителен, неравенство будет выполняться, когда знаменатель отрицателен:
\((x-3)(x+3) < 0\)
Шаг 3: Нахождение промежутков
Найдём точки, в которых знаменатель меняет знак:
- \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
- \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
Разобьём числовую ось на промежутки с учётом этих точек:
- \((-∞, -3)\)
- \((-3, 3)\)
- \((3, +∞)\)
Знаки выражения \((x-3)(x+3)\) на каждом из промежутков:
- На \((-∞, -3)\): оба множителя отрицательны, их произведение положительно.
- На \((-3, 3)\): множители имеют разные знаки, произведение отрицательно.
- На \((3, +∞)\): оба множителя положительны, их произведение положительно.
Шаг 4: Решение неравенства
Неравенство выполняется на промежутке \((-3, 3)\), где произведение отрицательно.
Ответ
Находим решение: \(x \in (-3, 3)\).
Это значит, неравенство выполняется, когда \(x\) находится в пределах от \(-3\) до \(3\), не включая сами точки \(-3\) и \(3\).
