в треугольнике ABC внешние углы при вершинах a и b равны. периметр треугольника равен 86 ,а одна из сторон равна 20. найдите две другие стороны

Рассмотрим задачу поэтапно.

Дано:

• Треугольник ABC.
• Внешние углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны.
• Периметр треугольника равен \(86\).
• Одна из сторон равна \(20\).

Обозначим стороны:

Пусть:

• \(AB = c\)
• \(BC = a\)
• \(AC = b\)

Зная, что одна из сторон равна \(20\), предположим, что \(a = 20\). Тогда мы можем записать периметр треугольника:

\[ a + b + c = 86 \]

Подставим значение \(a\):

\[ 20 + b + c = 86 \]

Отсюда получаем:

\[ b + c = 66 \quad \text{(1)} \]

Внешние углы:

По условию задачи, внешние углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны. Внешний угол равен \(180^\circ\) минус внутренний угол. Обозначим углы:

• \(\alpha\) — угол при вершине \(A\)
• \(\beta\) — угол при вершине \(B\)

Таким образом, у нас есть:

\[ 180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta \implies \alpha = \beta \]

Так как \(\alpha\) и \(\beta\) равны, это значит, что стороны, противолежащие этим углам, будут также относиться к равным углам и должны быть пропорциональны.

Согласно признаку равновесия треугольника, мы имеем:

\[ \frac{b}{c} = \frac{a}{20} \]

В данном случае \(a = 20\), и это не поможет без дополнительного уравнения, поэтому мы воспользуемся уравнением (1) и относительно записанного периметра.

Предположим:

\[ b = k \] \[ c = 66 - k \]

Теперь подставим это в уравнение пропорции:

\[ \frac{k}{66 - k} = \frac{20}{20} \]

Упрощение:

Поскольку \(\frac{20}{20} = 1\), получаем:

\[ k = 66 - k \]

Это значит:

\[ 2k = 66 \implies k = 33 \]

Таким образом, у нас есть:

\[ b = 33 \] \[ c = 66 - 33 = 33 \]

Ответ:

Стороны треугольника \(ABC\):

• \(a = 20\)
• \(b = 33\)
• \(c = 33\)

Проверка:

Периметр: \(20 + 33 + 33 = 86\), что соответствует данному условию.

Таким образом, \(b\) и \(c\) равны и составляют по \(33\) единицы, что также подтверждает равенство внешних углов при вершинах \(A\) и \(B\).

Мы нашли стороны треугольника: \(20\), \(33\), и \(33\).