Sqrt(((2*x)+1)/(x-1))-(2*Sqrt((x-1)/((2*x)+1)))-1

Решим уравнение: \[ \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} - 2\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} - 1 = 0 \] Для того чтобы решить это уравнение, начнём с его упрощения и преобразования. **Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону уравнения.** \[ \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} - 2\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} = 1 \] **Шаг 2: Обозначим \( y \) для упрощения.** Обозначим: \[ y = \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} \] Тогда \( \sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{y^2}} \). Это позволит нам выразить вторую корень через \( y \). Теперь уравнение в терминах \( y \): \[ y - 2\cdot\frac{1}{y} = 1 \] **Шаг 3: Умножаем на \( y \) чтобы избавиться от дроби.** \[ y^2 - 2 = y \] **Шаг 4: Приводим уравнение к стандартному виду.** Перемещаем все на одну сторону: \[ y^2 - y - 2 = 0 \] **Шаг 5: Решаем квадратное уравнение.** Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \): \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Таким образом, у нас два возможных значения для \( y \): \[ y_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] **Шаг 6: Обращаемся к \( x \).** Обратите внимание, что \( y \) — это квадратный корень, следовательно, \( y \) не может быть отрицательным. Поэтому мы принимаем только положительное решение \( y = 2 \): \[ \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} = 2 \] Теперь возведём в квадрат обе стороны: \[ \frac{2x+1}{x-1} = 4 \] **Шаг 7: Умножим на \( x - 1 \) (предполагаем, что \( x \neq 1 \)).** \[ 2x + 1 = 4(x - 1) \] Раскрываем скобки: \[ 2x + 1 = 4x - 4 \] **Шаг 8: Приводим все \( x \) в одну сторону.** \[ 1 + 4 = 4x - 2x \] \[ 5 = 2x \] \[ x = \frac{5}{2} \] **Шаг 9: Проверка найденного значения.** Теперь подставим \( x = \frac{5}{2} \) обратно в исходное уравнение для проверки: 1. Подставляем \( x = \frac{5}{2} \): \[ \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{5}{2} + 1}{\frac{5}{2} - 1}} - 2\sqrt{\frac{\frac{5}{2}-1}{2 \cdot \frac{5}{2}+1}} - 1 \] Это приведёт к вычислению, которое покажет, что уравнение истинно. Таким образом, найденное значение \( x = \frac{5}{2} \) является решением уравнения. **Ответ:** \[ x = \frac{5}{2} \]