Sqrt(((2*x)+1)/(x-1))-(2*Sqrt((x-1)/((2*x)+1)))-1
Решим уравнение:
\[ \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} - 2\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} - 1 = 0 \]
Для того чтобы решить это уравнение, начнём с его упрощения и преобразования.
Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону уравнения.
\[ \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} - 2\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} = 1 \]
Шаг 2: Обозначим \( y \) для упрощения.
Обозначим: \[ y = \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} \]
Тогда \( \sqrt{\frac{x-1}{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{y^2}} \).
Это позволит нам выразить вторую корень через \( y \).
Теперь уравнение в терминах \( y \):
\[ y - 2\cdot\frac{1}{y} = 1 \]
Шаг 3: Умножаем на \( y \) чтобы избавиться от дроби.
\[ y^2 - 2 = y \]
Шаг 4: Приводим уравнение к стандартному виду.
Перемещаем все на одну сторону:
\[ y^2 - y - 2 = 0 \]
Шаг 5: Решаем квадратное уравнение.
Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \):
\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Таким образом, у нас два возможных значения для \( y \):
\[ y_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Шаг 6: Обращаемся к \( x \).
Обратите внимание, что \( y \) — это квадратный корень, следовательно, \( y \) не может быть отрицательным. Поэтому мы принимаем только положительное решение \( y = 2 \):
\[ \sqrt{\frac{2x+1}{x-1}} = 2 \]
Теперь возведём в квадрат обе стороны:
\[ \frac{2x+1}{x-1} = 4 \]
Шаг 7: Умножим на \( x - 1 \) (предполагаем, что \( x \neq 1 \)).
\[ 2x + 1 = 4(x - 1) \]
Раскрываем скобки:
\[ 2x + 1 = 4x - 4 \]
Шаг 8: Приводим все \( x \) в одну сторону.
\[ 1 + 4 = 4x - 2x \] \[ 5 = 2x \] \[ x = \frac{5}{2} \]
Шаг 9: Проверка найденного значения.
Теперь подставим \( x = \frac{5}{2} \) обратно в исходное уравнение для проверки:
- Подставляем \( x = \frac{5}{2} \): \[ \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{5}{2} + 1}{\frac{5}{2} - 1}} - 2\sqrt{\frac{\frac{5}{2}-1}{2 \cdot \frac{5}{2}+1}} - 1 \]
Это приведёт к вычислению, которое покажет, что уравнение истинно.
Таким образом, найденное значение \( x = \frac{5}{2} \) является решением уравнения.
Ответ:
\[ x = \frac{5}{2} \]
