На доске написано число 25 . Каждый, кто проходит мимо доски, делает следующее: считает сумму цифр числа, умножает её на 2 и записывает полученное число взамен старого. Мимо доски прошло 1000 человек.

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. ### Исходные данные На доске написано число: \( 25 \). ### Шаг 1: Сумма цифр числа Для числа \( 25 \) сумма его цифр: \[ 2 + 5 = 7 \] ### Шаг 2: Умножаем сумму на 2 Теперь умножим полученную сумму \( 7 \) на \( 2 \): \[ 7 \times 2 = 14 \] Таким образом, после первого человека на доске будет записано число \( 14 \). ### Шаг 3: Повторяем процесс Теперь мы повторим этот процесс. Следующий человек уже видит число \( 14 \). #### Для числа 14 1. Сумма цифр \( 1 + 4 = 5 \). 2. Умножаем на \( 2 \): \[ 5 \times 2 = 10 \] Теперь на доске будет число \( 10 \). #### Для числа 10 1. Сумма цифр \( 1 + 0 = 1 \). 2. Умножаем на \( 2 \): \[ 1 \times 2 = 2 \] Теперь на доске будет число \( 2 \). #### Для числа 2 1. Сумма цифр \( 2 \). 2. Умножаем на \( 2 \): \[ 2 \times 2 = 4 \] Теперь на доске будет число \( 4 \). #### Для числа 4 1. Сумма цифр \( 4 \). 2. Умножаем на \( 2 \): \[ 4 \times 2 = 8 \] Теперь на доске будет число \( 8 \). #### Для числа 8 1. Сумма цифр \( 8 \). 2. Умножаем на \( 2 \): \[ 8 \times 2 = 16 \] Теперь на доске будет число \( 16 \). #### Для числа 16 1. Сумма цифр \( 1 + 6 = 7 \). 2. Умножаем на \( 2 \): \[ 7 \times 2 = 14 \] Теперь на доске уже появляется число \( 14 \) снова. ### Понимание процесса Важно заметить, что после каждого полного цикла (от \( 14 \) до \( 16 \) и обратно к \( 14 \)), мы попадаем в зацикленный процесс, который будет повторяться через каждые 5 человек. Таким образом, мы можем провести аналогию: Сразу видно, что после первых 5 человек: - Процесс пойдет от \( 25 \) до \( 14 \) (1) - Затем до \( 10 \) (2) - Затем до \( 2 \) (3) - Затем до \( 4 \) (4) - Затем до \( 8 \) (5) - И зациклено на \( 14 \) и \( 16 \). ### Подсчет числа человек После первых 5 человек, следующий процесс начинается с \( 14 \) и «циркулирует» между \( 14 \) и \( 16 \). С каждым человеком (в данном случае, каждый пятый получает снова число \( 14 \) или \( 16 \), чередуясь). Так как у нас прошло 1000 человек, давайте посчитаем, что каждые 2 человека поочередно записывают \( 14 \) и \( 16 \). Так как \( 1000 \) является четным числом, в последние два действия будет записано число \( 14 \). ### Ответ После 1000 человек на доске будет число: \[ 14 \]