На доске написано число 25 . Каждый, кто проходит мимо доски, делает следующее: считает сумму цифр числа, умножает её на 2 и записывает полученное число взамен старого. Мимо доски…

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

Исходные данные

На доске написано число: \( 25 \).

Шаг 1: Сумма цифр числа

Для числа \( 25 \) сумма его цифр: \[ 2 + 5 = 7 \]

Шаг 2: Умножаем сумму на 2

Теперь умножим полученную сумму \( 7 \) на \( 2 \): \[ 7 \times 2 = 14 \] Таким образом, после первого человека на доске будет записано число \( 14 \).

Шаг 3: Повторяем процесс

Теперь мы повторим этот процесс. Следующий человек уже видит число \( 14 \).

Для числа 14

1. Сумма цифр \( 1 + 4 = 5 \).
2. Умножаем на \( 2 \): \[ 5 \times 2 = 10 \] Теперь на доске будет число \( 10 \).

Для числа 10

1. Сумма цифр \( 1 + 0 = 1 \).
2. Умножаем на \( 2 \): \[ 1 \times 2 = 2 \] Теперь на доске будет число \( 2 \).

Для числа 2

1. Сумма цифр \( 2 \).
2. Умножаем на \( 2 \): \[ 2 \times 2 = 4 \] Теперь на доске будет число \( 4 \).

Для числа 4

1. Сумма цифр \( 4 \).
2. Умножаем на \( 2 \): \[ 4 \times 2 = 8 \] Теперь на доске будет число \( 8 \).

Для числа 8

1. Сумма цифр \( 8 \).
2. Умножаем на \( 2 \): \[ 8 \times 2 = 16 \] Теперь на доске будет число \( 16 \).

Для числа 16

1. Сумма цифр \( 1 + 6 = 7 \).
2. Умножаем на \( 2 \): \[ 7 \times 2 = 14 \] Теперь на доске уже появляется число \( 14 \) снова.

Понимание процесса

Важно заметить, что после каждого полного цикла (от \( 14 \) до \( 16 \) и обратно к \( 14 \)), мы попадаем в зацикленный процесс, который будет повторяться через каждые 5 человек. Таким образом, мы можем провести аналогию:

Сразу видно, что после первых 5 человек:

• Процесс пойдет от \( 25 \) до \( 14 \) (1)
• Затем до \( 10 \) (2)
• Затем до \( 2 \) (3)
• Затем до \( 4 \) (4)
• Затем до \( 8 \) (5)
• И зациклено на \( 14 \) и \( 16 \).

Подсчет числа человек

После первых 5 человек, следующий процесс начинается с \( 14 \) и «циркулирует» между \( 14 \) и \( 16 \). С каждым человеком (в данном случае, каждый пятый получает снова число \( 14 \) или \( 16 \), чередуясь).

Так как у нас прошло 1000 человек, давайте посчитаем, что каждые 2 человека поочередно записывают \( 14 \) и \( 16 \).

Так как \( 1000 \) является четным числом, в последние два действия будет записано число \( 14 \).

Ответ

После 1000 человек на доске будет число: \[ 14 \]