Чтобы найти вероятность объединения событий ( A ) и ( B ) при броске игральной кости, давайте сначала определим, что представляют собой эти события:
Событие ( A ) — «выпало чётное число очков». Чётные числа на игральной кости: ( 2, 4, 6 ). Таким образом, событие ( A ) состоит из элементов ( {2, 4, 6} ).
Событие ( B ) — «выпало число, большее 4». Числа на игральной кости, которые больше 4: ( 5, 6 ). Таким образом, событие ( B ) состоит из элементов ( {5, 6} ).
Теперь, чтобы найти вероятность ( P(A \cup B) ) (вероятность объединения событий ( A ) и ( B )), нам нужно использовать формулу:
[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
]
Шаг 1: Находим ( P(A) )
Вероятность события ( A ):
- Общее количество возможных исходов при броске кости (число граней) = 6.
- Количество благоприятных исходов для события ( A ) (чётные числа) = 3 (это 2, 4 и 6).
Следовательно,
[
P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов для } A}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Находим ( P(B) )
Вероятность события ( B ):
- Количество благоприятных исходов для события ( B ) (числа больше 4) = 2 (это 5 и 6).
Следовательно,
[
P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
]
Шаг 3: Находим ( P(A \cap B) )
Теперь находим пересечение ( A ) и ( B ) — ( A \cap B ):
- Числа, входящие в оба события ( A ) и ( B ): ( 6 ) — это единственный исход, который является и чётным, и больше 4.
Следовательно,
[
P(A \cap B) = \frac{1}{6}
]
Шаг 4: Подставляем данные в формулу
Теперь, когда у нас есть все необходимые вероятности, подставим их в формулу для объединения:
[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
]
Подставим значения:
[
P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}
]
Чтобы сложить дроби, найдём общий знаменатель. Общий знаменатель для 2, 3 и 6 — это 6. Переведём дроби:
[
P(A) = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad P(B) = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}, \quad P(A \cap B) = \frac{1}{6}
]
Теперь подставим:
[
P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
]
Ответ
Вероятность объединения событий ( A ) и ( B ) равна ( \frac{2}{3} ).
Таким образом, ( P(A \cup B) = \frac{2}{3} ).
