В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.
В данном случае мы имеем случайный эксперимент, в котором бросаем симметричную монету три раза.
Обозначим:
- вероятность выпадения орла (О) = 0.5,
- вероятность выпадения решки (Р) = 0.5.
Нам нужно найти вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза в 3 бросках. Это можно описать с помощью биномиального распределения.
Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдет k раз;
- \( n \) — общее количество испытаний;
- \( k \) — количество успешных исходов (в нашем случае, количество орлов);
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании;
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать k успешных исходов из n.
В нашем случае:
- \( n = 3 \) (общее количество бросков),
- \( k = 2 \) (мы хотим, чтобы орел выпал 2 раза),
- \( p = 0.5 \) (вероятность того, что выпадает орел в одном броске).
Вот как это выглядит в числах:
- Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(3, 2) \):
\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 \]
- Подставляем значения в формулу:
\[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{3 - 2} \] \[ P(X = 2) = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 \] \[ P(X = 2) = 3 \cdot 0.125 = 0.375 \]
Таким образом, вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза при броске монеты трижды, составляет \( 0.375 \) или \( 37.5\% \).
