При каких значениях x:а)трехчлен -x^2-2x+168 принимает положительные значения;б)трехчлен 15x^2+x-2 принимает отрицательные значение;в)дробь x+14/3-2x принимает отрицательные значения;г)дробь 6-5x/x+25 принимает положительные значения?

Давайте решим каждую часть задачи по порядку. Мы будем использовать свойства неравенств, а также теоремы о решении квадратных и дробно-рациональных неравенств. ### а) Трехчлен \(-x^2 - 2x + 168\) принимает положительные значения. 1. **Запишем неравенство**: \[ -x^2 - 2x + 168 > 0 \] 2. **Умножим все стороны на -1** (при этом знак неравенства поменяется на противоположный): \[ x^2 + 2x - 168 < 0 \] 3. **Найдем корни квадратного трехчлена** \(x^2 + 2x - 168 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676 \] Корни находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 26}{2} \] Корни: \[ x_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{-28}{2} = -14 \] 4. **Найдем промежутки**: Теперь нам нужно определить, на каких промежутках \(x^2 + 2x - 168 < 0\). Корни делят ось на три промежутка: \(x < -14\), \(-14 < x < 12\), \(x > 12\). 5. **Тестирование промежутков**: - Для \(x=-15\): \((-15)^2 + 2(-15) - 168 = 225 - 30 - 168 = 27 > 0\) (не удовлетворяет) - Для \(x=0\): \(0^2 + 2 \cdot 0 - 168 = -168 < 0\) (удовлетворяет) - Для \(x=13\): \(13^2 + 2 \cdot 13 - 168 = 169 + 26 - 168 = 27 > 0\) (не удовлетворяет) Таким образом, решение: \[ -14 < x < 12 \] ### б) Трехчлен \(15x^2 + x - 2\) принимает отрицательные значения. 1. **Запишем неравенство**: \[ 15x^2 + x - 2 < 0 \] 2. **Найдем корни**: Находим дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121 \] Корни: \[ x = \frac{-1 \pm 11}{30} \] Корни: \[ x_1 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5} \] 3. **Найдем промежутки**: Промежутки: \(x < -\frac{2}{5}\), \(-\frac{2}{5} < x < \frac{1}{3}\), \(x > \frac{1}{3}\). 4. **Тестирование промежутков**: - Для \(x=-1\): \(15(-1)^2 + (-1) - 2 = 15 - 1 - 2 = 12 > 0\) (не удовлетворяет) - Для \(x=0\): \(15(0)^2 + 0 - 2 = -2 < 0\) (удовлетворяет) - Для \(x=1\): \(15(1)^2 + 1 - 2 = 15 + 1 - 2 = 14 > 0\) (не удовлетворяет) Таким образом, решение: \[ -\frac{2}{5} < x < \frac{1}{3} \] ### в) Дробь \(\frac{x + 14}{3 - 2x}\) принимает отрицательные значения. 1. **Запишем неравенство**: \[ \frac{x + 14}{3 - 2x} < 0 \] 2. **Определим, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки**: - Числитель \(x + 14 < 0\) при \(x < -14\). - Знаменатель \(3 - 2x > 0\) при \(x < \frac{3}{2}\). 3. **Условия**: - \(x < -14\) и \(x < \frac{3}{2}\) (это условие всегда будет работать при \(x < -14\)). - Также \(3 - 2x\) не может быть равен 0, значит \(x \neq \frac{3}{2}\). Таким образом, решение: \[ x < -14 \] ### г) Дробь \(\frac{6 - 5x}{x + 25}\) принимает положительные значения. 1. **Запишем неравенство**: \[ \frac{6 - 5x}{x + 25} > 0 \] 2. **Определим, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки**: - Числитель \(6 - 5x > 0 \Rightarrow x < \frac{6}{5}\). - Знаменатель \(x + 25 > 0 \Rightarrow x > -25\). 3. **Условия**: - \(x < \frac{6}{5}\) и \(x > -25\) (действителен в промежутке \(-25 < x < \frac{6}{5}\)). - Проверим, чтобы знаменатель не был равен 0: \(x \neq -25\). Таким образом, решение: \[ -25 < x < \frac{6}{5} \] ### Ответы: а) \(-14 < x < 12\) б) \(-\frac{2}{5} < x < \frac{1}{3}\) в) \(x < -14\) г) \(-25 < x < \frac{6}{5}\)