Во время одной из интеллектуальных игр Незнайка и Пончик придумывали функции, а потом их неследовали, В частности, Пончик попросил Незнайку подсчитать, сколько целых значений может принимать функция f(x) = 2cos2x + 2cosx - 2025, В результате у Незнайки получилось целое(-ых) значение

Для решения задачи, начнем с анализа функции \( f(x) = 2\cos(2x) + 2\cos(x) - 2025 \). ### Шаг 1: Упрощение Сначала мы заметим, что \( \cos(2x) \) можно выразить через \( \cos(x) \) с помощью формулы двойного угла: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \] Таким образом, подставим это в функцию: \[ f(x) = 2(2\cos^2(x) - 1) + 2\cos(x) - 2025 \] Упрощая, получаем: \[ f(x) = 4\cos^2(x) - 2 + 2\cos(x) - 2025 \] \[ f(x) = 4\cos^2(x) + 2\cos(x) - 2027 \] ### Шаг 2: Обозначение новой переменной Давайте обозначим \( y = \cos(x) \). Тогда функция примет вид: \[ f(y) = 4y^2 + 2y - 2027 \] ### Шаг 3: Нахождение границ и корней функции Теперь нам нужно найти возможные значения \( y \), где \( y \) может принимать значения от \(-1\) до \(1\) (так как это диапазон значений косинуса). Теперь найдем значения функции в крайних точках: 1. Для \( y = -1 \): \[ f(-1) = 4(-1)^2 + 2(-1) - 2027 = 4 - 2 - 2027 = -2025 \] 2. Для \( y = 1 \): \[ f(1) = 4(1)^2 + 2(1) - 2027 = 4 + 2 - 2027 = -2021 \] Таким образом, значения функции \( f(y) \) в границах \( y = -1 \) и \( y = 1 \): - Минимальное значение \( f(-1) = -2025 \) - Максимальное значение \( f(1) = -2021 \) ### Шаг 4: Определение целых значений Теперь найдем, какие целые значения может принимать \( f(x) \) в диапазоне от \(-2025\) до \(-2021\). Это следующие значения: - \(-2025\) - \(-2024\) - \(-2023\) - \(-2022\) - \(-2021\) ### Шаг 5: Подсчет количества целых значений Теперь можем посчитать общее количество целых значений: - Значения: \(-2025, -2024, -2023, -2022, -2021\) — всего 5 целых значений. ### Ответ Таким образом, функция \( f(x) = 2\cos(2x) + 2\cos(x) - 2025 \) может принимать 5 целых значений.