Во время одной из интеллектуальных игр Незнайка и Пончик придумывали функции, а потом их неследовали, В частности, Пончик попросил Незнайку подсчитать, сколько целых значений…

Для решения задачи, начнем с анализа функции \( f(x) = 2\cos(2x) + 2\cos(x) - 2025 \).

Шаг 1: Упрощение

Сначала мы заметим, что \( \cos(2x) \) можно выразить через \( \cos(x) \) с помощью формулы двойного угла: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \]

Таким образом, подставим это в функцию: \[ f(x) = 2(2\cos^2(x) - 1) + 2\cos(x) - 2025 \] Упрощая, получаем: \[ f(x) = 4\cos^2(x) - 2 + 2\cos(x) - 2025 \] \[ f(x) = 4\cos^2(x) + 2\cos(x) - 2027 \]

Шаг 2: Обозначение новой переменной

Давайте обозначим \( y = \cos(x) \). Тогда функция примет вид: \[ f(y) = 4y^2 + 2y - 2027 \]

Шаг 3: Нахождение границ и корней функции

Теперь нам нужно найти возможные значения \( y \), где \( y \) может принимать значения от \(-1\) до \(1\) (так как это диапазон значений косинуса).

Теперь найдем значения функции в крайних точках:

1. Для \( y = -1 \): \[ f(-1) = 4(-1)^2 + 2(-1) - 2027 = 4 - 2 - 2027 = -2025 \]
2. Для \( y = 1 \): \[ f(1) = 4(1)^2 + 2(1) - 2027 = 4 + 2 - 2027 = -2021 \]

Таким образом, значения функции \( f(y) \) в границах \( y = -1 \) и \( y = 1 \):

• Минимальное значение \( f(-1) = -2025 \)
• Максимальное значение \( f(1) = -2021 \)

Шаг 4: Определение целых значений

Теперь найдем, какие целые значения может принимать \( f(x) \) в диапазоне от \(-2025\) до \(-2021\). Это следующие значения:

• \(-2025\)
• \(-2024\)
• \(-2023\)
• \(-2022\)
• \(-2021\)

Шаг 5: Подсчет количества целых значений

Теперь можем посчитать общее количество целых значений:

• Значения: \(-2025, -2024, -2023, -2022, -2021\) — всего 5 целых значений.

Ответ

Таким образом, функция \( f(x) = 2\cos(2x) + 2\cos(x) - 2025 \) может принимать 5 целых значений.