6. А(4; 0; 1), В(2; 5; 0), С(5; 1; 3).

Давайте рассмотрим точки A(4; 0; 1), B(2; 5; 0) и C(5; 1; 3) в трехмерном пространстве. Поскольку вы не указали предмет и класс, я предоставлю общее решение, подходящее для средней школы. ### Задача: Найти площадь треугольника ABC Треугольник образуется тремя точками в пространстве, и можно использовать формулу для вычисления площади треугольника, заданного координатами его вершин. #### Шаг 1: Найди векторы AB и AC Сначала мы найдем векторы AB и AC. - Вектор AB = B - A - Вектор AC = C - A Запишем координаты: - A(4; 0; 1) - B(2; 5; 0) - C(5; 1; 3) Теперь вычтем соответствующие координаты: 1. **Вектор AB**: \[ AB = B - A = (2 - 4; 5 - 0; 0 - 1) = (-2; 5; -1) \] 2. **Вектор AC**: \[ AC = C - A = (5 - 4; 1 - 0; 3 - 1) = (1; 1; 2) \] #### Шаг 2: Найди векторный произведение AB и AC Для нахождения площади треугольника используется длина векторного произведения векторов AB и AC. Давайте найдем это произведение: \[ AB \times AC = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 5 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \] #### Шаг 3: Рассчитай детерминант Вычислим детерминант: \[ AB \times AC = \mathbf{i}(5 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) \] Считаем: - Для компоненты i: \[ 5 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 = 10 + 1 = 11 \] - Для компоненты j: \[ -2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 = -4 + 1 = -3 \quad \text{(не забываем изменить знак)} \Rightarrow 3 \] - Для компоненты k: \[ -2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = -2 - 5 = -7 \] Таким образом, векторное произведение равно: \[ AB \times AC = (11; 3; -7) \] #### Шаг 4: Найди длину векторного произведения Теперь найдем длину вектора: \[ |AB \times AC| = \sqrt{11^2 + 3^2 + (-7)^2} = \sqrt{121 + 9 + 49} = \sqrt{179} \] #### Шаг 5: Найди площадь треугольника Площадь треугольника ABC равна половине длины векторного произведения: \[ S = \frac{1}{2} |AB \times AC| = \frac{1}{2} \sqrt{179} \] ### Ответ Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} \sqrt{179}\) квадратных единиц.