3u+2v=8, 4u-v=7, реши систему уравнений методом подстановки
Для решения системы уравнений методом подстановки, начнем с данной системы:
- \( 3u + 2v = 8 \) (1)
- \( 4u - v = 7 \) (2)
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Начнем с уравнения (2). Выразим \(v\) через \(u\):
\[ 4u - v = 7 \]
Перепишем это уравнение:
\[ -v = 7 - 4u \]
Теперь умножим на \(-1\), чтобы избавиться от знака минус:
\[ v = 4u - 7 \tag{3} \]
Шаг 2: Подставим выражение для \(v\) в первое уравнение
Теперь подставим выражение (3) для \(v\) в уравнение (1):
\[ 3u + 2(4u - 7) = 8 \]
Раскроем скобки:
\[ 3u + 8u - 14 = 8 \]
Объединим подобные члены:
\[ 11u - 14 = 8 \]
Шаг 3: Найдем \(u\)
Добавим 14 к обеим сторонам уравнения:
\[ 11u = 22 \]
Теперь поделим обе стороны на 11:
\[ u = 2 \]
Шаг 4: Найдем \(v\)
Теперь, когда мы знаем \(u\), подставим его значение в уравнение (3), чтобы найти \(v\):
\[ v = 4(2) - 7 \]
Выполним вычисления:
\[ v = 8 - 7 = 1 \]
Итог
Мы нашли значения для \(u\) и \(v\):
\[ u = 2, \quad v = 1 \]
Проверка
Теперь давайте подставим \(u\) и \(v\) обратно в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они верны.
- Проверим уравнение (1):
\[ 3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8 \quad \text{(верно)} \]
- Проверим уравнение (2):
\[ 4(2) - 1 = 8 - 1 = 7 \quad \text{(верно)} \]
Ответ
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ u = 2, \quad v = 1 \]
