Для решения системы уравнений методом подстановки, начнем с данной системы:
- ( 3u + 2v = 8 ) (1)
- ( 4u - v = 7 ) (2)
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Начнем с уравнения (2). Выразим (v) через (u):
[
4u - v = 7
]
Перепишем это уравнение:
[
-v = 7 - 4u
]
Теперь умножим на (-1), чтобы избавиться от знака минус:
[
v = 4u - 7 \tag{3}
]
Шаг 2: Подставим выражение для (v) в первое уравнение
Теперь подставим выражение (3) для (v) в уравнение (1):
[
3u + 2(4u - 7) = 8
]
Раскроем скобки:
[
3u + 8u - 14 = 8
]
Объединим подобные члены:
[
11u - 14 = 8
]
Шаг 3: Найдем (u)
Добавим 14 к обеим сторонам уравнения:
[
11u = 22
]
Теперь поделим обе стороны на 11:
[
u = 2
]
Шаг 4: Найдем (v)
Теперь, когда мы знаем (u), подставим его значение в уравнение (3), чтобы найти (v):
[
v = 4(2) - 7
]
Выполним вычисления:
[
v = 8 - 7 = 1
]
Итог
Мы нашли значения для (u) и (v):
[
u = 2, \quad v = 1
]
Проверка
Теперь давайте подставим (u) и (v) обратно в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они верны.
- Проверим уравнение (1):
[
3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8 \quad \text{(верно)}
]
- Проверим уравнение (2):
[
4(2) - 1 = 8 - 1 = 7 \quad \text{(верно)}
]
Ответ
Таким образом, решение системы уравнений:
[
u = 2, \quad v = 1
]
