Какое из чисел а, записанных в двоичной системе, удовлетворяет условию 78¹⁶<а<172⁸?

Чтобы решить задачу, нам нужно сначала преобразовать границы интервала из различных систем счисления в десятичную систему. Рассмотрим каждую границу по очереди.

1. Преобразование 78¹⁶ в десятичную систему:

   • Десятичное значение числа в шестнадцатеричной системе (основание 16) складывается из произведений каждой цифры на 16 в соответствующей степени:
   • \( 78_{16} = 7 \cdot 16^1 + 8 \cdot 16^0 \)
   • \( = 7 \cdot 16 + 8 \cdot 1 \)
   • \( = 112 + 8 \)
   • \( = 120 \)

2. Преобразование 172⁸ в десятичную систему:

   • Десятичное значение числа в восьмеричной системе (основание 8) также складывается, но с основанием 8:
   • \( 172_{8} = 1 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8^1 + 2 \cdot 8^0 \)
   • \( = 1 \cdot 64 + 7 \cdot 8 + 2 \cdot 1 \)
   • \( = 64 + 56 + 2 \)
   • \( = 122 \)

Теперь имеем диапазон:

\[ 120 < a < 122 \]

Теперь определим, какое число может удовлетворять этому неравенству. Поскольку \( a \) должно быть строго больше 120 и строго меньше 122, единственное целое число, которое удовлетворяет этому условию, – это 121.

3. Поиск двоичного представления числа 121:
   • Чтобы представить 121 в двоичной системе, делим число на 2 и записываем остатки:
     • \( 121 \div 2 = 60 \) (остаток 1)
     • \( 60 \div 2 = 30 \) (остаток 0)
     • \( 30 \div 2 = 15 \) (остаток 0)
     • \( 15 \div 2 = 7 \) (остаток 1)
     • \( 7 \div 2 = 3 \) (остаток 1)
     • \( 3 \div 2 = 1 \) (остаток 1)
     • \( 1 \div 2 = 0 \) (остаток 1)

Записываем остатки в обратном порядке, получаем:

\[ 121_{10} = 1111001_{2} \]

Таким образом, соответствующее число \( a \), удовлетворяющее условию \( 78_{16} < a < 172_{8} \), в двоичной системе будет:

Ответ: \( a = 1111001_{2} \) (десятичное 121).