Представьте в виде многочлена сумму многочлена а²+3а-5 и произведения многочленов а²-3а-7 и 5а+9

Чтобы представить сумму многочлена \(a^2 + 3a - 5\) и произведения многочленов \(a^2 - 3a - 7\) и \(5a + 9\), начнем с вычисления произведения и затем сложим полученный результат с первым многочленом.

Шаг 1: Вычисление произведения многочленов

У нас есть два многочлена:

1. \(P(a) = a^2 - 3a - 7\)
2. \(Q(a) = 5a + 9\)

Мы умножаем их по формуле распределения (или по методу "группировки"):

\[ P(a) \cdot Q(a) = (a^2 - 3a - 7)(5a + 9) \]

Мы можем распределить каждый член из первого многочлена на каждый член второго многочлена:

1. Умножаем \(a^2\) на \(5a\) и \(9\):

   • \(a^2 \cdot 5a = 5a^3\)
   • \(a^2 \cdot 9 = 9a^2\)

2. Умножаем \(-3a\) на \(5a\) и \(9\):

   • \(-3a \cdot 5a = -15a^2\)
   • \(-3a \cdot 9 = -27a\)

3. Умножаем \(-7\) на \(5a\) и \(9\):

   • \(-7 \cdot 5a = -35a\)
   • \(-7 \cdot 9 = -63\)

Теперь сложим все полученные термины:

\[ P(a) \cdot Q(a) = 5a^3 + 9a^2 - 15a^2 - 27a - 35a - 63 \]

Шаг 2: Сложение подобных членов

Теперь объединим похожие термины:

• Члены \(a^2\): \(9a^2 - 15a^2 = -6a^2\)
• Члены \(a\): \(-27a - 35a = -62a\)

Таким образом, произведение многочлена будет: \[ P(a) \cdot Q(a) = 5a^3 - 6a^2 - 62a - 63 \]

Шаг 3: Сложение с первым многочленом

Теперь нужно сложить результат с многочленом \(a^2 + 3a - 5\):

\[ (a^2 + 3a - 5) + (5a^3 - 6a^2 - 62a - 63) \]

Сложим подобные члены:

• Члены \(a^3\): \(5a^3\)
• Члены \(a^2\): \(1a^2 - 6a^2 = -5a^2\)
• Члены \(a\): \(3a - 62a = -59a\)
• Свободные члены: \(-5 - 63 = -68\)

Окончательный ответ:

Таким образом, сумма многочлена \(a^2 + 3a - 5\) и произведения многочленов \(a^2 - 3a - 7\) и \(5a + 9\) будет представлена в виде многочлена:

\[ 5a^3 - 5a^2 - 59a - 68 \]

Это и есть наш итоговый многочлен!