Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, поскольку у нас есть фиксированное количество узлов (10 узлов) и два возможных состояния для каждого узла (исправен или неисправен).
Шаг 1: Определим параметры задачи
- n (количество испытаний): 10 (это количество узлов).
- k (количество "успехов", то есть количество узлов, которые выходят из строя): 4.
- p (вероятность успеха, то есть вероятность того, что узел работает исправно): 0,8.
- Вероятность того, что узел выходит из строя: ( q = 1 - p = 0,2 ).
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что ровно k узлов выйдет из строя, можно вычислить по формуле биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, вычисляемый по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаг 3: Подставим известные значения в формулу
Мы хотим найти:
[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0,8)^{10-4} \cdot (0,2)^4
]
Теперь вычислим каждую часть по отдельности:
1. Биномиальный коэффициент ( C(10, 4) )
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5040}{24} = 210
]
2. Расчет ( (0,8)^{10-4} )
[
(0,8)^6 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,262144
]
3. Расчет ( (0,2)^4 )
[
(0,2)^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,0016
]
Шаг 4: Подставим все значения в формулу
Теперь подставим все найденные значения в формулу:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0,262144 \cdot 0,0016
]
Теперь посчитаем:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0,262144 \cdot 0,0016 = 0,088080
]
Шаг 5: Сформулируем ответ
Вероятность того, что за время ( t ) откажут 4 узла, составляет приблизительно 0,088 или 8,8%.
