Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, поскольку у нас есть фиксированное количество узлов (10 узлов) и два возможных состояния для каждого узла (исправен или неисправен).

Шаг 1: Определим параметры задачи

• n (количество испытаний): 10 (это количество узлов).
• k (количество "успехов", то есть количество узлов, которые выходят из строя): 4.
• p (вероятность успеха, то есть вероятность того, что узел работает исправно): 0,8.
• Вероятность того, что узел выходит из строя: \( q = 1 - p = 0,2 \).

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность того, что ровно k узлов выйдет из строя, можно вычислить по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, вычисляемый по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаг 3: Подставим известные значения в формулу

Мы хотим найти:

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0,8)^{10-4} \cdot (0,2)^4 \]

Теперь вычислим каждую часть по отдельности:

1. Биномиальный коэффициент \( C(10, 4) \)

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]

2. Расчет \( (0,8)^{10-4} \)

\[ (0,8)^6 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,262144 \]

3. Расчет \( (0,2)^4 \)

\[ (0,2)^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,0016 \]

Шаг 4: Подставим все значения в формулу

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,262144 \cdot 0,0016 \]

Теперь посчитаем:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,262144 \cdot 0,0016 = 0,088080 \]

Шаг 5: Сформулируем ответ

Вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет приблизительно 0,088 или 8,8%.