На числовой прямой даны два отрезка: P  =  [17, 46] и Q  =  [22, 57]. Отрезок A таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной х: ¬(x ∈ A) →(((x ∈ P) ⋀ (x ∈ Q)) → (x ∈ A)) Какова наименьшая возможная длина отрезка A?

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом. ### Дано: 1. Два отрезка: - \( P = [17, 46] \) - \( Q = [22, 57] \) 2. Формула: \[ ¬(x ∈ A) →(((x ∈ P) ⋀ (x ∈ Q)) → (x ∈ A)) \] ### Анализ формулы Формально, формула \( ¬(x ∈ A) →(((x ∈ P) ⋀ (x ∈ Q)) → (x ∈ A)) \) означает: - Если \( x \) не принадлежит отрезку \( A \) (то есть \( x ∉ A \)), то: - Если \( x \) принадлежит обоим отрезкам \( P \) и \( Q \), то \( x \) должен принадлежать отрезку \( A \). Эта формула будет истинной при любом \( x \), если при \( x ∉ A \) не может быть такого \( x \), которое одновременно принадлежит \( P \) и \( Q \), то есть \( P \cap Q \) (пересечение) должно быть пусто или находиться полностью в \( A \). ### Пересечение отрезков Сначала найдем пересечение отрезков \( P \) и \( Q \): - \( P = [17, 46] \) - \( Q = [22, 57] \) Пересечение \( P \cap Q \): - Левый конец пересечения: \( \max(17, 22) = 22 \) - Правый конец пересечения: \( \min(46, 57) = 46 \) Таким образом, пересечение \( P \) и \( Q \) будет: \[ P \cap Q = [22, 46] \] ### Определение отрезка A Чтобы формула была истинной, все значения из пересечения \( P \cap Q \) должны принадлежать \( A \): - То есть \( A \) должно содержать все числа из интервала \( [22, 46] \). Таким образом, \( A \) должно содержать отрезок хотя бы \( [22, 46] \). ### Длина отрезка A Теперь мы можем найти минимальную длину отрезка \( A \): - Длина отрезка вычисляется по формуле \( \text{длина} = \text{правый конец} - \text{левый конец} \). - Для отрезка \( [22, 46] \): \[ \text{длина} = 46 - 22 = 24 \] ### Итог Таким образом, наименьшая возможная длина отрезка \( A \), чтобы данная формула была истинной, составляет \( 24 \).