На числовой прямой даны два отрезка: P = [17, 46] и Q = [22, 57]. Отрезок A таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной х: ¬(x ∈ A) →(((x ∈ P) ⋀ (x ∈…

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Два отрезка:

   • \( P = [17, 46] \)
   • \( Q = [22, 57] \)

2. Формула: \[ ¬(x ∈ A) →(((x ∈ P) ⋀ (x ∈ Q)) → (x ∈ A)) \]

Анализ формулы

Формально, формула \( ¬(x ∈ A) →(((x ∈ P) ⋀ (x ∈ Q)) → (x ∈ A)) \) означает:

• Если \( x \) не принадлежит отрезку \( A \) (то есть \( x ∉ A \)), то:
  • Если \( x \) принадлежит обоим отрезкам \( P \) и \( Q \), то \( x \) должен принадлежать отрезку \( A \).

Эта формула будет истинной при любом \( x \), если при \( x ∉ A \) не может быть такого \( x \), которое одновременно принадлежит \( P \) и \( Q \), то есть \( P \cap Q \) (пересечение) должно быть пусто или находиться полностью в \( A \).

Пересечение отрезков

Сначала найдем пересечение отрезков \( P \) и \( Q \):

• \( P = [17, 46] \)
• \( Q = [22, 57] \)

Пересечение \( P \cap Q \):

• Левый конец пересечения: \( \max(17, 22) = 22 \)
• Правый конец пересечения: \( \min(46, 57) = 46 \)

Таким образом, пересечение \( P \) и \( Q \) будет: \[ P \cap Q = [22, 46] \]

Определение отрезка A

Чтобы формула была истинной, все значения из пересечения \( P \cap Q \) должны принадлежать \( A \):

• То есть \( A \) должно содержать все числа из интервала \( [22, 46] \).

Таким образом, \( A \) должно содержать отрезок хотя бы \( [22, 46] \).

Длина отрезка A

Теперь мы можем найти минимальную длину отрезка \( A \):

• Длина отрезка вычисляется по формуле \( \text{длина} = \text{правый конец} - \text{левый конец} \).
• Для отрезка \( [22, 46] \): \[ \text{длина} = 46 - 22 = 24 \]

Итог

Таким образом, наименьшая возможная длина отрезка \( A \), чтобы данная формула была истинной, составляет \( 24 \).