найти интервалы монотонности функции y=x в квадрате -6x+5

Давайте решим задачу по нахождению интервалов монотонности функции \( y = x^2 - 6x + 5 \).

Шаг 1: Найдите производную функции

Чтобы определить интервалы монотонности, нужно найти производную функции. Производная показывает, как изменяется функция при изменении \( x \). Для функции \( y = x^2 - 6x + 5 \) производная рассчитывается так:

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(5) \] \[ y' = 2x - 6 + 0 \] \[ y' = 2x - 6 \]

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки функции находятся, когда производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы ищем, когда \( y' = 0 \):

\[ 2x - 6 = 0 \] \[ 2x = 6 \] \[ x = 3 \]

Шаг 3: Определите знаки производной

Теперь нам нужно выяснить, на каких интервалах производная положительна (функция возрастает) и на каких отрицательна (функция убывает). Для этого рассмотрим промежутки, которые образует критическая точка \( x = 3 \):

1. \( (-\infty, 3) \)
2. \( (3, +\infty) \)

Теперь подставим значения из этих интервалов в производную \( y' = 2x - 6 \):

• Для интервала \( (-\infty, 3) \) возьмём, например, \( x = 0 \): \[ y'(0) = 2(0) - 6 = -6 \quad (\text{отрицательно}) \]

• Для интервала \( (3, +\infty) \) возьмём, например, \( x = 4 \): \[ y'(4) = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2 \quad (\text{положительно}) \]

Шаг 4: Интервалы монотонности

Теперь можем подвести итоги:

• На интервале \( (-\infty, 3) \) функция убывает (поскольку производная отрицательна).
• На интервале \( (3, +\infty) \) функция возрастает (поскольку производная положительна).

Ответ:

Функция \( y = x^2 - 6x + 5 \) убывает на интервале \( (-\infty, 3) \) и возрастает на интервале \( (3, +\infty) \).