Найти интервалы монотонности функции y=x в квадрате -6x+5

Давайте решим задачу по нахождению интервалов монотонности функции \( y = x^2 - 6x + 5 \). ### Шаг 1: Найдите производную функции Чтобы определить интервалы монотонности, нужно найти производную функции. Производная показывает, как изменяется функция при изменении \( x \). Для функции \( y = x^2 - 6x + 5 \) производная рассчитывается так: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(5) \] \[ y' = 2x - 6 + 0 \] \[ y' = 2x - 6 \] ### Шаг 2: Найдите критические точки Критические точки функции находятся, когда производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы ищем, когда \( y' = 0 \): \[ 2x - 6 = 0 \] \[ 2x = 6 \] \[ x = 3 \] ### Шаг 3: Определите знаки производной Теперь нам нужно выяснить, на каких интервалах производная положительна (функция возрастает) и на каких отрицательна (функция убывает). Для этого рассмотрим промежутки, которые образует критическая точка \( x = 3 \): 1. \( (-\infty, 3) \) 2. \( (3, +\infty) \) Теперь подставим значения из этих интервалов в производную \( y' = 2x - 6 \): - Для интервала \( (-\infty, 3) \) возьмём, например, \( x = 0 \): \[ y'(0) = 2(0) - 6 = -6 \quad (\text{отрицательно}) \] - Для интервала \( (3, +\infty) \) возьмём, например, \( x = 4 \): \[ y'(4) = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2 \quad (\text{положительно}) \] ### Шаг 4: Интервалы монотонности Теперь можем подвести итоги: - На интервале \( (-\infty, 3) \) функция убывает (поскольку производная отрицательна). - На интервале \( (3, +\infty) \) функция возрастает (поскольку производная положительна). ### Ответ: Функция \( y = x^2 - 6x + 5 \) убывает на интервале \( (-\infty, 3) \) и возрастает на интервале \( (3, +\infty) \).