реши задания с фото
Давайте решим данные задания.
Задания по нахождению производных функций:
\( y = x^9 + \frac{3}{x} \)
Производная суммы равна сумме производных:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^9) + \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x}\right) \]
\[ y' = 9x^8 - \frac{3}{x^2} \]
\( y = \sin \left( \frac{\pi}{x} \right) \)
Используем производную сложной функции. Производная \(\sin(u)\) равна \(\cos(u) \cdot u'\):
\[ u = \frac{\pi}{x}, \quad u' = -\frac{\pi}{x^2} \]
\[ y' = \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \cdot \left(-\frac{\pi}{x^2}\right) \]
\[ y' = -\frac{\pi}{x^2}\cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \]
\( y = x^2 \sin 3x \)
Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\),
\[ u = x^2, \quad v = \sin 3x \]
\[ u' = 2x, \quad v' = 3\cos 3x \]
\[ y' = 2x \cdot \sin 3x + x^2 \cdot 3 \cos 3x \]
\[ y' = 2x \sin 3x + 3x^2 \cos 3x \]
\( y = 9 \cdot \text{ctg}(4x - 8) \)
Производная \(\text{ctg}(u)\) равна \(-\frac{1}{\sin^2(u)} \cdot u'\),
\[ u = 4x - 8, \quad u' = 4 \]
\[ y' = -9 \cdot \frac{1}{\sin^2(4x - 8)} \cdot 4 \]
\[ y' = -\frac{36}{\sin^2(4x - 8)} \]
\( y = \sin^2 x \)
Правило производной композиции:
\[ y = (\sin x)^2, \quad y' = 2 \sin x \cdot \cos x \]
\[ y' = \sin(2x) \]
\( y = \frac{3}{(x^2 - x)^{16}} \)
Правило производной дробной функции:
\[ y = 3(x^2 - x)^{-16} \]
\[ y' = -16 \cdot 3 \cdot (x^2 - x)^{-17} \cdot (2x - 1) \]
\[ y' = -48(x^2 - x)^{-17} (2x - 1) \]
\( y = 4x - x^{-\frac{1}{2}} \)
\[ y' = 4 + \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \]
\( y = \frac{x^2}{\sqrt{x}} \)
Сначала упростим выражение:
\[ y = x^{\frac{3}{2}} \]
\[ y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \]
\( y = 6 \ln x \)
Производная натурального логарифма:
\[ y' = \frac{6}{x} \]
\( y = e^x + \log 8x \)
Производная экспоненты:
\[ y' = e^x + \frac{1}{8x} \cdot 8 \]
\[ y' = e^x + \frac{1}{x} \]
Уравнение касательной к графику функции
Функция \( f(x) = 5 + 2x - x^3 \) в точке с абсциссой \( x_0 \).
Найдите координату точки: \( x_0 = 1 \).
Найдите значение функции в этой точке: \[ f(1) = 5 + 2(1) - (1)^3 = 5 + 2 - 1 = 6 \]
Найдите производную функции: \[ f'(x) = 2 - 3x^2 \]
Найдите значение производной в точке \( x = 1 \): \[ f'(1) = 2 - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1 \]
Уравнение касательной: \[ y - 6 = -1(x - 1) \]
\[ y = -x + 1 + 6 \]
\[ y = -x + 7 \]
Если есть ещё вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
