Реши задания с фото

Давайте решим данные задания. ### Задания по нахождению производных функций: 1. **\( y = x^9 + \frac{3}{x} \)** Производная суммы равна сумме производных: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^9) + \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x}\right) \] \[ y' = 9x^8 - \frac{3}{x^2} \] 2. **\( y = \sin \left( \frac{\pi}{x} \right) \)** Используем производную сложной функции. Производная \(\sin(u)\) равна \(\cos(u) \cdot u'\): \[ u = \frac{\pi}{x}, \quad u' = -\frac{\pi}{x^2} \] \[ y' = \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \cdot \left(-\frac{\pi}{x^2}\right) \] \[ y' = -\frac{\pi}{x^2}\cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \] 3. **\( y = x^2 \sin 3x \)** Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\), \[ u = x^2, \quad v = \sin 3x \] \[ u' = 2x, \quad v' = 3\cos 3x \] \[ y' = 2x \cdot \sin 3x + x^2 \cdot 3 \cos 3x \] \[ y' = 2x \sin 3x + 3x^2 \cos 3x \] 4. **\( y = 9 \cdot \text{ctg}(4x - 8) \)** Производная \(\text{ctg}(u)\) равна \(-\frac{1}{\sin^2(u)} \cdot u'\), \[ u = 4x - 8, \quad u' = 4 \] \[ y' = -9 \cdot \frac{1}{\sin^2(4x - 8)} \cdot 4 \] \[ y' = -\frac{36}{\sin^2(4x - 8)} \] 5. **\( y = \sin^2 x \)** Правило производной композиции: \[ y = (\sin x)^2, \quad y' = 2 \sin x \cdot \cos x \] \[ y' = \sin(2x) \] 6. **\( y = \frac{3}{(x^2 - x)^{16}} \)** Правило производной дробной функции: \[ y = 3(x^2 - x)^{-16} \] \[ y' = -16 \cdot 3 \cdot (x^2 - x)^{-17} \cdot (2x - 1) \] \[ y' = -48(x^2 - x)^{-17} (2x - 1) \] 7. **\( y = 4x - x^{-\frac{1}{2}} \)** \[ y' = 4 + \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \] 8. **\( y = \frac{x^2}{\sqrt{x}} \)** Сначала упростим выражение: \[ y = x^{\frac{3}{2}} \] \[ y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \] 9. **\( y = 6 \ln x \)** Производная натурального логарифма: \[ y' = \frac{6}{x} \] 10. **\( y = e^x + \log 8x \)** Производная экспоненты: \[ y' = e^x + \frac{1}{8x} \cdot 8 \] \[ y' = e^x + \frac{1}{x} \] ### Уравнение касательной к графику функции **Функция \( f(x) = 5 + 2x - x^3 \)** в точке с абсциссой \( x_0 \). 1. Найдите координату точки: \( x_0 = 1 \). Найдите значение функции в этой точке: \[ f(1) = 5 + 2(1) - (1)^3 = 5 + 2 - 1 = 6 \] 2. Найдите производную функции: \[ f'(x) = 2 - 3x^2 \] 3. Найдите значение производной в точке \( x = 1 \): \[ f'(1) = 2 - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1 \] 4. Уравнение касательной: \[ y - 6 = -1(x - 1) \] \[ y = -x + 1 + 6 \] \[ y = -x + 7 \] Если есть ещё вопросы, не стесняйтесь спрашивать!