В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4√2 см а один из катетов равен 4 см. Найдите второй катет и острые углы треугольника

Для решения задачи, мы будем использовать теорему Пифагора и тригонометрические функции.

1. Запишем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике суммы квадратов катетов равны квадрату гипотенузы. Формула выглядит так: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты.

2. Определим известные значения:

   • Гипотенуза \( c = 4\sqrt{2} \) см
   • Один из катетов \( a = 4 \) см
   • Второй катет \( b \) неизвестен.

3. Подставим известные значения в формулу: \[ (4\sqrt{2})^2 = 4^2 + b^2 \]

4. Посчитаем квадрат гипотенузы: \[ (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \] \[ 4^2 = 16 \]

5. Подставим обратно в формулу: \[ 32 = 16 + b^2 \]

6. Вычтем 16 из обеих сторон: \[ b^2 = 32 - 16 = 16 \]

7. Найдём второй катет \( b \): \[ b = \sqrt{16} = 4 \, \text{см} \]

Теперь у нас есть оба катета: \( a = 4 \) см и \( b = 4 \) см.

8. Найдем острые углы треугольника: Для нахождения углов воспользуемся тригонометрическими функциями. Один из острых углов можно выразить через тангенс: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{адъюцированный катет}} = \frac{b}{a} \] Подставим значения: \[ \tan(\alpha) = \frac{4}{4} = 1 \] Таким образом, угол \( \alpha = 45^\circ \).

Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \) и один угол прямой (90°), то второй острый угол также будет \( 45^\circ \).

Итак, ответ:

• Второй катет \( b = 4 \) см.
• Острые углы треугольника равны: \( 45^\circ \) и \( 45^\circ \).