В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4√2 см а один из катетов равен 4 см. Найдите второй катет и острые углы треугольника

Для решения задачи, мы будем использовать теорему Пифагора и тригонометрические функции. 1. **Запишем теорему Пифагора**: В прямоугольном треугольнике суммы квадратов катетов равны квадрату гипотенузы. Формула выглядит так: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты. 2. **Определим известные значения**: - Гипотенуза \( c = 4\sqrt{2} \) см - Один из катетов \( a = 4 \) см - Второй катет \( b \) неизвестен. 3. **Подставим известные значения в формулу**: \[ (4\sqrt{2})^2 = 4^2 + b^2 \] 4. **Посчитаем квадрат гипотенузы**: \[ (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \] \[ 4^2 = 16 \] 5. **Подставим обратно в формулу**: \[ 32 = 16 + b^2 \] 6. **Вычтем 16 из обеих сторон**: \[ b^2 = 32 - 16 = 16 \] 7. **Найдём второй катет \( b \)**: \[ b = \sqrt{16} = 4 \, \text{см} \] Теперь у нас есть оба катета: \( a = 4 \) см и \( b = 4 \) см. 8. **Найдем острые углы треугольника**: Для нахождения углов воспользуемся тригонометрическими функциями. Один из острых углов можно выразить через тангенс: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{адъюцированный катет}} = \frac{b}{a} \] Подставим значения: \[ \tan(\alpha) = \frac{4}{4} = 1 \] Таким образом, угол \( \alpha = 45^\circ \). Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \) и один угол прямой (90°), то второй острый угол также будет \( 45^\circ \). **Итак, ответ:** - Второй катет \( b = 4 \) см. - Острые углы треугольника равны: \( 45^\circ \) и \( 45^\circ \).