При подозрении на наличие COVID-19 пациента отправляют на ПЦР-тест. Если пациент действительно болеет, то тест подтверждает его в 80% случаев. Если пациент здоров, то тест…
При подозрении на наличие COVID-19 пациента отправляют на ПЦР-тест. Если пациент действительно болеет, то тест подтверждает его в 80% случаев. Если пациент здоров, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 90% случаев, в остальных случаях тест покажет положительный результат. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 24% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно болеет COVID-19? Результат округлите до сотых.
Для решения данной задачи будем использовать теорему Байеса, которая позволяет находить условные вероятности. Определим необходимые события:
- \( A \): пациент болен COVID-19.
- \( B \): тест положительный.
Нам нужно найти вероятность \( P(A|B) \) — вероятность того, что пациент болен COVID-19, при условии, что тест положительный.
Согласно теореме Байеса:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]
Шаг 1: Находим известные вероятности
Вероятность того, что пациент болен COVID-19. Из условия задачи известно, что в среднем тест оказывается положительным у 24% пациентов. Мы начнем с предположения, что 24% всех пациентов действительно болеют (это можно считать полной вероятностью). \[ P(A) = 0.24 \] Следовательно, вероятность того, что пациент здоров: \[ P(A') = 1 - P(A) = 0.76 \]
Вероятность положительного результата теста, если пациент болен. Из условия тест подтверждает болезнь в 80% случаев: \[ P(B|A) = 0.80 \]
Вероятность положительного результата теста, если пациент здоров. Тест выявляет отсутствие заболевания в 90% случаев, а значит, он показывает положительный результат в 10% случаев: \[ P(B|A') = 0.10 \]
Шаг 2: Находим полную вероятность положительного результата теста \( P(B) \)
Сначала найдем \( P(B) \) с использованием полной вероятности:
\[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|A') \cdot P(A') \]
Подставим известные значения:
\[ P(B) = (0.80 \cdot 0.24) + (0.10 \cdot 0.76) \]
Вычисляем каждую часть:
- \( 0.80 \cdot 0.24 = 0.192 \)
- \( 0.10 \cdot 0.76 = 0.076 \)
Теперь сложим эти результаты:
\[ P(B) = 0.192 + 0.076 = 0.268 \]
Шаг 3: Подставляем все значения в формулу Байеса
Теперь мы можем подставить всё обратно в формулу Байеса:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0.80 \cdot 0.24}{0.268} \]
Выполним вычисления:
- Сначала вычислим числитель: \[ 0.80 \cdot 0.24 = 0.192 \]
Теперь подставим в формулу: \[ P(A|B) = \frac{0.192}{0.268} \approx 0.7164 \]
Шаг 4: Округляем до сотых
Теперь округляем результат до сотых: \[ P(A|B) \approx 0.72 \]
Ответ:
Вероятность того, что пациент действительно болен COVID-19 при положительном результате теста составляет approximately 72%.
