При подозрении на наличие COVID-19 пациента отправляют на ПЦР-тест. Если пациент действительно болеет, то тест подтверждает его в 80% случаев. Если пациент здоров, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 90% случаев, в остальных случаях тест покажет положительный результат. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 24% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно болеет COVID-19? Результат округлите до сотых.

Для решения данной задачи будем использовать теорему Байеса, которая позволяет находить условные вероятности. Определим необходимые события: - \( A \): пациент болен COVID-19. - \( B \): тест положительный. Нам нужно найти вероятность \( P(A|B) \) — вероятность того, что пациент болен COVID-19, при условии, что тест положительный. Согласно теореме Байеса: \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \] ### Шаг 1: Находим известные вероятности 1. **Вероятность того, что пациент болен COVID-19.** Из условия задачи известно, что в среднем тест оказывается положительным у 24% пациентов. Мы начнем с предположения, что 24% всех пациентов действительно болеют (это можно считать полной вероятностью). \[ P(A) = 0.24 \] Следовательно, вероятность того, что пациент здоров: \[ P(A') = 1 - P(A) = 0.76 \] 2. **Вероятность положительного результата теста, если пациент болен.** Из условия тест подтверждает болезнь в 80% случаев: \[ P(B|A) = 0.80 \] 3. **Вероятность положительного результата теста, если пациент здоров.** Тест выявляет отсутствие заболевания в 90% случаев, а значит, он показывает положительный результат в 10% случаев: \[ P(B|A') = 0.10 \] ### Шаг 2: Находим полную вероятность положительного результата теста \( P(B) \) Сначала найдем \( P(B) \) с использованием полной вероятности: \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|A') \cdot P(A') \] Подставим известные значения: \[ P(B) = (0.80 \cdot 0.24) + (0.10 \cdot 0.76) \] Вычисляем каждую часть: - \( 0.80 \cdot 0.24 = 0.192 \) - \( 0.10 \cdot 0.76 = 0.076 \) Теперь сложим эти результаты: \[ P(B) = 0.192 + 0.076 = 0.268 \] ### Шаг 3: Подставляем все значения в формулу Байеса Теперь мы можем подставить всё обратно в формулу Байеса: \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0.80 \cdot 0.24}{0.268} \] Выполним вычисления: - Сначала вычислим числитель: \[ 0.80 \cdot 0.24 = 0.192 \] Теперь подставим в формулу: \[ P(A|B) = \frac{0.192}{0.268} \approx 0.7164 \] ### Шаг 4: Округляем до сотых Теперь округляем результат до сотых: \[ P(A|B) \approx 0.72 \] ### Ответ: Вероятность того, что пациент действительно болен COVID-19 при положительном результате теста составляет approximately **72%**.