2. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину жесткостью 15 кН/м дополнительно на 1,3 см? Начальное растяжение пружины 1см.
Для того чтобы решить задачу о работе, необходимой для растяжения пружины, воспользуемся законом Гука и формулой для работы, совершаемой над пружиной.
Шаг 1: Понимание закона Гука и определения параметров
По закону Гука, сила, необходимая для растяжения пружины, пропорциональна её удлинению:
\[ F = k \cdot x, \]
где:
- \( F \) — сила, действующая на пружину (в Н),
- \( k \) — жесткость пружины (в Н/м),
- \( x \) — удлинение пружины (в м).
В данном случае жесткость пружины \( k = 15 \, \text{кН/м} = 15000 \, \text{Н/м} \).
Шаг 2: Определение начальных и конечных положений
- Начальное растяжение пружины \( x_1 = 1 \, \text{см} = 0.01 \, \text{м} \).
- Дополнительное растяжение, которое необходимо произвести, равно \( x_2 = 1.3 \, \text{см} = 0.013 \, \text{м} \).
- Итоговое удлинение пружины \( x_{\text{общ}} = x_1 + x_2 = 0.01 \, \text{м} + 0.013 \, \text{м} = 0.023 \, \text{м} \).
Шаг 3: Определение работы
Работа, совершаемая над пружиной, при её растяжении от длины \( x_1 \) до \( x_{\text{общ}} \), рассчитывается по формуле:
\[ A = \int_{x_1}^{x_{\text{общ}}} F \, dx = \int_{x_1}^{x_{\text{общ}}} k \cdot x \, dx. \]
Так как \( F = k \cdot x \), работа будет вычисляться как:
\[ A = k \int_{x_1}^{x_{\text{общ}}} x \, dx. \]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Теперь найдем интеграл:
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2}, \]
Теперь подставим пределы интегрирования:
\[ A = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_1}^{x_{\text{общ}}} = k \left( \frac{x_{\text{общ}}^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \right). \]
Шаг 5: Подставим значения
Подставим значения жесткости и пределы интегрирования:
\[ A = 15000 \, \text{Н/м} \left( \frac{(0.023)^2}{2} - \frac{(0.01)^2}{2} \right). \]
Теперь вычислим каждую часть:
\[ (0.023)^2 = 0.000529, \quad (0.01)^2 = 0.0001, \] \[ A = 15000 \left( \frac{0.000529}{2} - \frac{0.0001}{2} \right) = 15000 \left( \frac{0.000529 - 0.0001}{2} \right) = 15000 \left( \frac{0.000429}{2} \right). \] \[ A = 15000 \times 0.0002145 = 3.2175 \, \text{Дж}. \]
Ответ
Итак, работа, необходимая для растяжения пружины на дополнительное расстояние 1,3 см от начального растяжения в 1 см, составляет приблизительно 3.22 Дж.
