f(x)=sin x ; x0=П/4

Для функции \( f(x) = \sin x \) и точки \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) давайте разберемся с тем, что мы можем сделать с этой информацией. Исходя из задачи, можно предположить, что вас интересует нахождение значения функции в данной точке или производной в этой точке. Я объясню оба варианта.

1. Нахождение значения функции при \( x_0 = \frac{\pi}{4} \)

Для этого просто подставляем значение \( x_0 \) в функцию \( f(x) \):

\[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Согласно тригонометрическим свойствам:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, значение функции \( f(x) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) равно:

\[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Нахождение производной функции \( f(x) \)

Теперь давайте найдем производную функции \( f(x) = \sin x \) и вычислим ее в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \).

Сначала найдем производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]

Теперь подставим \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) в производную:

\[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Согласно тригонометрическим свойствам:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Итак, производная функции в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) равна:

\[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Итог:

• Значение функции \( f(x) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Значение производной функции \( f'(x) \) в той же точке равно также \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Если у вас есть еще вопросы по этой теме или другим аспектам, не стесняйтесь спрашивать!