В прямоугольном параллеленинеде известны длины рабер: AB = 15, AD= 12, AA1 = 16. Найдите синус угла между CD и A1C1

Чтобы найти синус угла между гранями \( CD \) и \( A_1C_1 \) прямоугольного параллелепипеда, воспользуемся следующими шагами.

Шаг 1: Определение координат точек

Сначала определим координаты точек, основываясь на заданных длинах рёбер:

• Пусть точка \( A \) будет находиться в начале координат: \( A(0, 0, 0) \).
• Тогда точка \( B \) будет: \( B(15, 0, 0) \) (так как \( AB = 15 \)).
• Точка \( D \): \( D(0, 12, 0) \) (так как \( AD = 12 \)).
• Точка \( A_1 \) будет: \( A_1(0, 0, 16) \) (так как \( AA_1 = 16 \)).
• Точка \( C \): \( C(15, 12, 0) \).
• Точка \( C_1 \): \( C_1(15, 12, 16) \).

Шаг 2: Векторы грани

Теперь найдем векторы, которые определяют грани \( CD \) и \( A_1C_1 \):

1. Вектор \( \overrightarrow{CD} = D - C = (0, 12, 0) - (15, 12, 0) = (-15, 0, 0) \).
2. Вектор \( \overrightarrow{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (15, 12, 16) - (0, 0, 16) = (15, 12, 0) \).

Шаг 3: Находим синусы угла

Синус угла между двумя векторами можно найти, используя формулу:

\[ \sin(\theta) = \frac{|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \]

где \( \overrightarrow{a} = \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{b} = \overrightarrow{A_1C_1} \).

Шаг 4: Вычисление произведения векторов

Сначала найдем векторное произведение \( \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{A_1C_1} \):

\[ \overrightarrow{CD} = (-15, 0, 0), \quad \overrightarrow{A_1C_1} = (15, 12, 0) \]

\[ \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{A_1C_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -15 & 0 & 0 \\ 15 & 12 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}((-15) \cdot 12 - 0 \cdot 15) = \hat{k}(-180) \]

То есть, \( \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{A_1C_1} = (0, 0, -180) \).

Длина векторного произведения:

\[ |\overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{A_1C_1}| = 180 \]

Шаг 5: Длины векторов

Теперь найдем длины векторов:

\[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-15)^2 + 0^2 + 0^2} = 15 \]

\[ |\overrightarrow{A_1C_1}| = \sqrt{(15)^2 + (12)^2 + 0^2} = \sqrt{225 + 144} = \sqrt{369} \approx 19.2 \]

Шаг 6: Найдем синус угла

Теперь подставим все значения в формулу для синуса:

\[ \sin(\theta) = \frac{|\overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{A_1C_1}|}{|\overrightarrow{CD}| |\overrightarrow{A_1C_1}|} = \frac{180}{15 \cdot 19.2} = \frac{180}{288} = \frac{5}{8} \]

Ответ

Синус угла между гранями \( CD \) и \( A_1C_1 \) равен \( \frac{5}{8} \).