Дана случайная величина Z, представляющая количество посетителей сайта за час. Оцените вероятность того, что значение случайной величины Z будет отклоняться от ее математического…

Давайте разберем две части вашей задачи, начиная с первой.

Часть 1: Оценка вероятности отклонения случайной величины Z

1. Исходные данные:

   • Математическое ожидание (M(X)) = 50
   • Дисперсия (D(X)) = 310

2. Поиск стандартного отклонения: Стандартное отклонение (σ) является квадратным корнем из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{310} \approx 17.49. \]

3. Отклонение от математического ожидания более чем на 20 человек: Мы ищем вероятность того, что Z отклонится от 50 более чем на 20. То есть, мы хотим найти: \[ P(|Z - 50| > 20). \]

   Это можно выразить как: \[ P(Z < 30 \text{ или } Z > 70). \]

4. Используя нормальное приближение (если Z подчиняется нормальному распределению): Мы можем найти стандартные оценки: Для \( Z < 30 \): \[ Z_{30} = \frac{30 - 50}{\sigma} = \frac{30 - 50}{17.49} \approx -1.14. \]

   Для \( Z > 70 \): \[ Z_{70} = \frac{70 - 50}{\sigma} = \frac{70 - 50}{17.49} \approx 1.14. \]

5. Ищем вероятности в нормальном распределении: Находим вероятность для \( Z < -1.14 \) и \( Z > 1.14 \) с помощью таблицы стандартного нормального распределения:

   • \( P(Z < -1.14) \approx 0.1271 \).
   • \( P(Z > 1.14) \approx 0.1271 \) (по симметрии).

6. Итоговая вероятность: \[ P(|Z - 50| > 20) = P(Z < 30) + P(Z > 70) \approx 0.1271 + 0.1271 = 0.2542. \]

Часть 2: Вероятность успеха в испытаниях Бернулли

1. Исходные данные:

   • Количество испытаний (n) = 4
   • Вероятность успеха (p) = 0.8

2. Формула для нахождения вероятности k успехов в испытаниях Бернулли: Используем биномиальную формулу: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \] где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который считывается как "n по k".

3. Найдем вероятности для k = 1 и k = 2:

   • Для k = 1: \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^{4-1} \] \[ = 4 \cdot 0.8 \cdot (0.2)^3 = 4 \cdot 0.8 \cdot 0.008 = 0.0256. \]

   • Для k = 2: \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^{4-2} \] \[ = 6 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^2 = 6 \cdot 0.64 \cdot 0.04 = 0.1536. \]

4. Итоговая вероятность для 1 или 2 успехов: \[ P(X = 1 \text{ или } X = 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0.0256 + 0.1536 = 0.1792. \]

В результате:

• Вероятность отклонения Z от 50 более чем на 20 человек: приблизительно 0.2542.
• Вероятность того, что 1 или 2 испытания будут успешными: приблизительно 0.1792.