Дана случайная величина Z, представляющая количество посетителей сайта за час. Оцените вероятность того, что значение случайной величины Z будет отклоняться от ее математического ожидания более, чем на 20 человек, если M(X) = 50, а D(X) = 310. Проводят серию из 4-х испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = 0,8. Найдите вероятность того, что 1 или 2 из них окажутся успешными.

Давайте разберем две части вашей задачи, начиная с первой. ### Часть 1: Оценка вероятности отклонения случайной величины Z 1. **Исходные данные:** - Математическое ожидание (M(X)) = 50 - Дисперсия (D(X)) = 310 2. **Поиск стандартного отклонения:** Стандартное отклонение (σ) является квадратным корнем из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{310} \approx 17.49. \] 3. **Отклонение от математического ожидания более чем на 20 человек:** Мы ищем вероятность того, что Z отклонится от 50 более чем на 20. То есть, мы хотим найти: \[ P(|Z - 50| > 20). \] Это можно выразить как: \[ P(Z < 30 \text{ или } Z > 70). \] 4. **Используя нормальное приближение (если Z подчиняется нормальному распределению):** Мы можем найти стандартные оценки: Для \( Z < 30 \): \[ Z_{30} = \frac{30 - 50}{\sigma} = \frac{30 - 50}{17.49} \approx -1.14. \] Для \( Z > 70 \): \[ Z_{70} = \frac{70 - 50}{\sigma} = \frac{70 - 50}{17.49} \approx 1.14. \] 5. **Ищем вероятности в нормальном распределении:** Находим вероятность для \( Z < -1.14 \) и \( Z > 1.14 \) с помощью таблицы стандартного нормального распределения: - \( P(Z < -1.14) \approx 0.1271 \). - \( P(Z > 1.14) \approx 0.1271 \) (по симметрии). 6. **Итоговая вероятность:** \[ P(|Z - 50| > 20) = P(Z < 30) + P(Z > 70) \approx 0.1271 + 0.1271 = 0.2542. \] ### Часть 2: Вероятность успеха в испытаниях Бернулли 1. **Исходные данные:** - Количество испытаний (n) = 4 - Вероятность успеха (p) = 0.8 2. **Формула для нахождения вероятности k успехов в испытаниях Бернулли:** Используем биномиальную формулу: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \] где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который считывается как "n по k". 3. **Найдем вероятности для k = 1 и k = 2:** - **Для k = 1:** \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^{4-1} \] \[ = 4 \cdot 0.8 \cdot (0.2)^3 = 4 \cdot 0.8 \cdot 0.008 = 0.0256. \] - **Для k = 2:** \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^{4-2} \] \[ = 6 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^2 = 6 \cdot 0.64 \cdot 0.04 = 0.1536. \] 4. **Итоговая вероятность для 1 или 2 успехов:** \[ P(X = 1 \text{ или } X = 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0.0256 + 0.1536 = 0.1792. \] В результате: - **Вероятность отклонения Z от 50 более чем на 20 человек:** приблизительно **0.2542**. - **Вероятность того, что 1 или 2 испытания будут успешными:** приблизительно **0.1792**.