Построй график функци y=y= {x2−2x−1,x⩾0x+1,x<0{x2−2x−1,x⩾0x+1,x<0​ Определи, при каких значениях mm прямая y=my=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное…

Для решения задачи начнем с построения графика функции \( y \):

Функция задана кусочной формой:
\[ y = \begin{cases} x^2 - 2x - 1, & x \geq 0 \\ x + 1, & x < 0 \end{cases} \]

Шаг 1: Построение графика функций

1. Для \( x \geq 0 \):
   Рассмотрим функцию \( y = x^2 - 2x - 1 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы лучше понять форму параболы, найдем её вершину. Вершина параболы по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \) и \( b = -2 \): \[ x = \frac{2}{2} = 1 \] Подставляем \( x = 1 \) в функцию, чтобы найти соответствующее значение \( y \): \[ y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, -2) \).

   Также найдем пересечения с осью \( y \): \[ y(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 1 = -1 \] И корни уравнения \( x^2 - 2x - 1 = 0 \): Используем дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \] Таким образом, парабола пересекает ось \( x \) в точках \( 1 - \sqrt{2} \) и \( 1 + \sqrt{2} \), но для \( x \geq 0 \) будет только \( 1 + \sqrt{2} \).

2. Для \( x < 0 \):
   Здесь функция \( y = x + 1 \) — это прямая. Находится на интервале \( x < 0 \) и пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 1) \).

Шаг 2: Построение графика

График функции будет выглядеть так:

• Парабола для \( x \geq 0 \) с вершиной в \( (1, -2) \) и точкой пересечения с осью \( y \) в \( (0, -1) \).
• Прямая для \( x < 0 \), которая проходит через точки \( (-1, 0) \) и \( (0, 1) \).

Шаг 3: Определение условий для прямой \( y = mx \)

Теперь нам нужно определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = mx \) имеет ровно две общие точки с графиком нашей функции.

• Для \( m > 0 \): прямая будет проходить через начало координат, наклоняясь вверх. Мы можем получить 2 пересечения с параболой, если прямая будет проходить ниже её вершины и выше оси \( y \).

• Для \( -2 < m < 0 \): прямая будет горизонтально-падать, и в этом случае мы также можем получить 2 пересечения.

Шаг 4: Проверка значений \( m \)

1. Чтобы прямая \( y = mx \) пересекала параболу \( y = x^2 - 2x - 1 \) два раза, нужно решить: \[ mx = x^2 - 2x - 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - (2 + m)x - 1 = 0 \] Для двух различных корней необходимо, чтобы дискриминант был положительным: \[ D = (2 + m)^2 + 4 > 0 \] Это условие будет всегда выполняться для всех \( m \neq -2 \).

2. Прямая \( y = mx \) должна также пересекать прямую \( y = x + 1 \): \[ mx = x + 1 \quad \Rightarrow \quad (m - 1)x - 1 = 0 \] Это будет иметь ровно одну общую точку, если \( m = 1 \).

Шаг 5: Итог

Следовательно:

• Для значений \( m > 1 \) и \( -2 < m < 0 \) прямая \( y = mx \) будет иметь ровно 2 пересечения.

Записываем ответ:
\(-2;1\)