Чтобы найти производную функции ( u = \frac{x^2 - 3}{x^2 + 3} ), нам нужно использовать правило производной для дроби. Это правило гласит, что если у нас есть функция в виде ( u = \frac{f(x)}{g(x)} ), то её производная ( u' ) вычисляется по формуле:
[
u' = \frac{f' g - f g'}{g^2}
]
где:
- ( f' ) — производная числителя ( f(x) ),
- ( g' ) — производная знаменателя ( g(x) ).
В нашем случае:
- ( f(x) = x^2 - 3 )
- ( g(x) = x^2 + 3 )
Теперь найдем производные ( f'(x) ) и ( g'(x) ).
Находим производную ( f'(x) ):
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3) = 2x
]
Находим производную ( g'(x) ):
[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3) = 2x
]
Теперь мы можем подставить ( f ), ( g ), ( f' ) и ( g' ) в формулу для производной:
[
u' = \frac{(2x)(x^2 + 3) - (x^2 - 3)(2x)}{(x^2 + 3)^2}
]
Теперь упростим числитель:
[
u' = \frac{2x(x^2 + 3) - 2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 3)^2}
]
Раскроем скобки:
[
u' = \frac{2x^3 + 6x - 2x^3 + 6x}{(x^2 + 3)^2}
]
Как видно, ( 2x^3 ) сокращается, и остаётся:
[
u' = \frac{12x}{(x^2 + 3)^2}
]
Таким образом, производная функции ( u ) будет равна:
[
u' = \frac{12x}{(x^2 + 3)^2}
]
Это и есть ответ. Если у вас есть дополнительные вопросы или непонятные моменты — не стесняйтесь спросить!
