у=x^2-3/x^2+3 найдите производную функцию
Чтобы найти производную функции \( u = \frac{x^2 - 3}{x^2 + 3} \), нам нужно использовать правило производной для дроби. Это правило гласит, что если у нас есть функция в виде \( u = \frac{f(x)}{g(x)} \), то её производная \( u' \) вычисляется по формуле:
\[ u' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \]
где:
- \( f' \) — производная числителя \( f(x) \),
- \( g' \) — производная знаменателя \( g(x) \).
В нашем случае:
- \( f(x) = x^2 - 3 \)
- \( g(x) = x^2 + 3 \)
Теперь найдем производные \( f'(x) \) и \( g'(x) \).
Находим производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3) = 2x \]
Находим производную \( g'(x) \): \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3) = 2x \]
Теперь мы можем подставить \( f \), \( g \), \( f' \) и \( g' \) в формулу для производной:
\[ u' = \frac{(2x)(x^2 + 3) - (x^2 - 3)(2x)}{(x^2 + 3)^2} \]
Теперь упростим числитель:
\[ u' = \frac{2x(x^2 + 3) - 2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 3)^2} \]
Раскроем скобки:
\[ u' = \frac{2x^3 + 6x - 2x^3 + 6x}{(x^2 + 3)^2} \]
Как видно, \( 2x^3 \) сокращается, и остаётся:
\[ u' = \frac{12x}{(x^2 + 3)^2} \]
Таким образом, производная функции \( u \) будет равна:
\[ u' = \frac{12x}{(x^2 + 3)^2} \]
Это и есть ответ. Если у вас есть дополнительные вопросы или непонятные моменты — не стесняйтесь спросить!
