Сделать конспект выписав все теоремы и определения Глава III Параллельные прямые та глава посвящена изучению параллельных прямых. Так называются две прямые на плоскости, которые не пересек ются. Отрезки параллельных прямых мы видим в окружающе обстановке - это два края прямоугольного стола, два края обложки книги, две штанги троллейбуса и т. д. Параллельные прямые играют в геометрии очень важную роль. В этой главе вы узнаете о том, что такое аксиомы геометрии и в чём состоит аксиома параллельных прямых - одна из самых известных аксиом геометрии. Признаки параллельности двух прямых 24. Определение параллельных прямых В п. 1 мы отмечали, что две прямые либо имеют одну общую точку, т. е. пересекаются, либо не имеют ни одной общей точки, т. е. не пересекаются. Рис. 104 Определение Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Параллельность прямых а и b обозначают так: а || b. На рисунке 104 изображены прямые а и b, перпендикулярные к прямой с. В п. 12 мы установили, что такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны. Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. На рисунке 105, а отрезки АВ и CD параллельны (AB||CD), а отрезки MN и CD не 53 Параллельные прямые a) б) Рис. 105 параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 105, б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей (рис. 105, в). 25. Признаки параллельности двух прямых Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 106). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь неразвёр- нутых углов, которые на рисунке 106 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия: 8 5 6 накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6; 1Оодносторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; Рис. 106 соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7. Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов. Теорема Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство Пусть при пересечении прямых а и в секущей АВ накрест лежащие углы равны: Z1 = 22 (рис. 107, а). 54 Глава III 2 Докажем, что а || b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 107, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не a) a прямые. Из середины отрезка АВ, точки О, проведём перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 107, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН1, равный отрезку АН, как показано на рисунке 107, в, и проведём отрезок ОН1. Треугольники ОНА и ОН В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВO, АН= ВH1, 21 = Z2), поэтому Z3 = Z4 и Z5 = Z6. Из равенства Z3 = Z4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча ОН, т.е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства 25 = Z6 следует, что угол 6 - прямой (так как угол 5 - прямой). Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой НН1, поэтому они параллельны. Теорема доказана. b 10 B б) a b B Теорема Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 6) Доказательство Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Z1 = Z2 (рис. 108). a Так как углы 2 и вертикальные, то /2= /3. Из этих двух равенств следует, что Z1 = Z3. Но углы 1 и 3 - накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. b 6 Bi Теорема доказана. Рис. 107 Теорема Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Параллельные 55 прямые 28. Аксиома параллельных прямых Рассмотрим произвольную прямую а и точку М, не лежащую на ней (рис. 115, а). Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а. Для этого проведём через точку М две прямые: сначала прямую с перпендикулярно к прямой а, а затем прямую b перпендикулярно к прямой с (рис. 115, б). Так как прямые а и b перпендикулярны к прямой с, то они параллельны. a) Итак, через точку М проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает следующий вопрос: можно ли через точку М провести ещё одну прямую, параллельную прямой а? б) Нам представляется, что если прямую b «повернуть» даже на очень малый угол вокруг точки М, то она пересечёт прямую а (прямая b' на рисунке 115, б). Иными словами, нам кажется, что через точку М нельзя провести другую прямую (отличную от b), параллельную прямой а. А можно ли это утверждение доказать? Рис 59 Парс прял Этот вопрос имеет большую историю. В «Началах» Евклида содержится постулат (пятый постулат Евклида), из которого следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Многие математики начиная с древних времён предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т. е. вывести его из других аксиом. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными. И лишь в XIX в. было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой. Н. И. Лобачевский (1792 -1856) Огромную роль в решении этого непростого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856). Итак, в качестве ещё одного из исходных положений мы принимаем аксиому параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Например, утверждения 1 и 2 (см. с. 36) являются следствиями из теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника. a) M Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых. b 1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. б) Действительно, пусть прямые а и b параллельны и прямая с пересекает прямую а в точке М (рис. 116, а). Докажем, что прямая с пересекает и прямую b. Если бы прямая с не пе- M a b Рис. 116 60 Глава III ресекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой b (рис. 116, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b. a) б) 20. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. M Действительно, пусть прямые а и b параллельны прямой с (рис. 117, а). Докажем, что а|| b. Допустим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке М (рис. 117, б). Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b), параллельные прямой с. Рис. 117 Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение неверно, а значит, прямые а и b параллельны. 29. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Во всякой теореме различают две части: условие и заключение. Условие теоремы - это то, что дано, а заключение - то, что требуется доказать. Рассмотрим, например, теорему, выражающую признак параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны» (это дано), а заключением - вторая часть: «прямые параллельны» (это требуется доказать). Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы. Докажем теоремы, обратные трём теоремам п. 25. Они называются свойствами параллельных прямых. 61 Параллельные прямые Теорема Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Доказательство Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей MN. Докажем, что накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны (рис. 118). Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 2, так, чтобы ZPMN и 22 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому МР||b. Мы получили, что через точку М проходят две прямые (прямые а и МР), параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и 21 = 42. Теорема доказана. Рис. 118 Замечание При доказательстве этой теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного. Мы предположили, что при пересечении параллельных прямых а и секущей MN накрест лежащие углы 1 и 2 не равны, т. е. предположили противоположное тому, что нужно доказать. Исходя из этого предположения, путём рассуждений мы пришли к противоречию с аксиомой параллельных прямых. Это означает, что наше предположение неверно и, следовательно, 21 = 22. Следствие Такой способ рассуждений часто используется в математике. Мы им пользовались и ранее, например в п. 12 при доказательстве того, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Этим же методом мы пользовались в п. 28 при доказательстве следствий 1° и 2° из аксиомы параллельных прямых. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. 62 Глава III a Действительно, пусть а || b, сLа, т. е. 21=90° (рис. 119). Прямая с пересекает прямую а, поэтому она пересекает также прямую b. При пересечении параллельных прямых а и секущей с образуются равные накрест лежащие углы: Z1 = /2. Так как Z1 = 90°, то и Z2= 90°, т. е. с .Lb, что и требовалось доказать. C Рис. 119 Теорема Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. C Доказательство Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 120). Так как а | b, то накрест лежащие углы 1 и 3 равны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств Z1= /3 и Z2 = Z3 следует, что Z1 = Z2. 4 Теорема доказана. Рис. 120 Теорема Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. Доказательство Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с (см. рис. 120). Докажем, например, что /1 + Z4 = 180°. Так как а || b, то соответственные углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 4 смежные, поэтому /2+ /4 = 180°. Из равенств Z1 = /2 и /2 + Z4 = 180° следует, что Z1 + Z4 = 180°. Теорема доказана. Замечание Если доказана некоторая теорема, то отсюда ещё не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда верно. Приведём простой пример. Мы знаем, что если углы вертикальные, то они равны. Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные», конечно же, неверно. 63 Параллельные прямые