3. В лыжных гонках участвуют 10 спортсменов из России, 8 спортсменов из Швеции и 7 спортсменов из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним.

В данной задаче нам нужно найти вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним в лыжных гонках. Давайте разберем эту задачу шаг за шагом. ### Шаг 1: Определение общего числа спортсменов Сначала определим общее количество спортсменов в соревновании. - Спортсмены из России: 10 - Спортсмены из Швеции: 8 - Спортсмены из Норвегии: 7 Общее количество спортсменов: \[ N = 10 + 8 + 7 = 25 \] ### Шаг 2: Определение случаев, когда спортсмен из Швеции стартует последним Теперь мы хотим посчитать, каковы шансы, что последним стартует спортсмен из Швеции. 1. Если предположить, что последним стартует один из спортсменов из Швеции, тогда нам остается 24 места (остальные спортсмены) для распределения среди всех спортсменов. 2. Поскольку мы уже выбрали одного шведского спортсмена для последнего места, он не участвует в распределении оставшихся мест. ### Шаг 3: Подсчет благоприятных случаев Количество благоприятных исходов, когда последний стартующий - спортсмен из Швеции, будет равно количеству спортсменов из Швеции: \[ \text{Количество благоприятных случаев} = 8 \quad (\text{всего шведских спортсменов}) \] ### Шаг 4: Определение общего числа исходов Теперь нам нужно определить общее количество способов, как спортсмены могут стартовать. Порядок старта можно представить как перестановку всех 25 спортсменов: \[ \text{Общее количество исходов} = 25! \] ### Шаг 5: Подсчет количества исходов, когда спортсмен из Швеции стартует последним Когда мы фиксируем последним спортсмена из Швеции, у нас остается 24 других спортсмена, которые могут стартовать в любых последовательностях: \[ \text{Количество способов для 24 спортсменов} = 24! \] Поскольку для последнего места мы можем выбрать любого из 8 спортсменов из Швеции, общее количество благоприятных исходов становится: \[ \text{Общее количество благоприятных случаев} = 8 \times 24! \] ### Шаг 6: Определение вероятности Теперь мы можем вычислить вероятность того, что последним стартует спортсмен из Швеции. Вероятность (P) рассчитывается как отношение благоприятных случаев к общему количеству исходов: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных случаев}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{8 \times 24!}{25!} \] Так как \(25! = 25 \times 24!\), мы можем упрощать выражение: \[ P = \frac{8 \times 24!}{25 \times 24!} = \frac{8}{25} \] ### Итог Таким образом, вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним, равна: \[ \boxed{\frac{8}{25}} \]