Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. Мы будем рассматривать события, связанные со стрелком, который стреляет по мишени. Обозначим вероятность попадания как ( p ), а вероятность промаха как ( q = 1 - p ).
1. Распределение бинарной случайной величины
Мы будем использовать распределение Бернулли и геометрическое распределение для решения задач.
а) Стрелок попал с первого раза.
Стрелок попадает с первого раза только в том случае, если он попал в первый выстрел. Вероятность этого события:
[ P(\text{попал с 1-го выстрела}) = p. ]
б) Стрелок не попал при третьем выстреле.
Стрелок не попал при третьем выстреле, если он дважды промахнулся, а затем промахнулся при третьем выстреле. Вероятность этого события:
[
P(\text{не попал при 3-м выстреле}) = q \cdot q \cdot q = q^3,
]
где ( q = 1 - p ).
в) Стрелок попал с пятого выстрела.
Стрелок попадает с пятого выстрела, если он промахнулся в первых четырех выстрелах и попал в пятом. Вероятность этого события:
[
P(\text{попал с 5-го выстрела}) = q^4 \cdot p.
]
г) Стрелок попал с n-ого выстрела.
Стрелок попадает с n-ого выстрела, если он промахнулся в первых ( n-1 ) выстрелах и попал в n-ом. Вероятность этого события:
[
P(\text{попал с n-го выстрела}) = q^{n-1} \cdot p.
]
д) Стрелок не попал при n-ом выстреле.
Стрелок не попал при n-ом выстреле, если он промахнулся в первых ( n ) выстрелах. Вероятность этого события:
[
P(\text{не попал при n-ом выстреле}) = q^n.
]
2. Математическое ожидание
Теперь вычислим математическое ожидание (среднее значение) для случайных величин, полученных в предыдущих задачах.
1. Математическое ожидание для "попал с первого раза":
[
E(X_1) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p.
]
2. Математическое ожидание для "не попал при третьем выстреле":
Можно считать, что это вес для количества выстрелов до третьего, где мы просто считаем количество промахов.
[
E(X_2) = 3 \cdot q^3.
]
3. Математическое ожидание для "попал с пятого выстрела":
[
E(X_3) = p \cdot 5 \cdot q^4 = 5pq^4.
]
4. Математическое ожидание для "попал с n-ого выстрела":
Здесь мы имеем:
[
E(X_4) = p \cdot n \cdot q^{n-1}.
]
5. Математическое ожидание для "не попал при n-ом выстреле":
[
E(X_5) = n \cdot q^n.
]
Заключение
Выводя различные вероятности для попаданий и промахов стрелка, мы можем использовать распределение и математическое ожидание, чтобы понимать, как ведет себя случайная величина в таком контексте. Не стесняйтесь задавать дополнительный вопросы, если что-то осталось непонятным!
