Чтобы найти значение ( c ) в уравнении ( 7x^2 - 8x + c = 0 ), зная, что разность корней ( x_1 ) и ( x_2 ) равна ( \frac{6}{7} ), мы воспользуемся некоторыми свойствами корней квадратного уравнения.
Для квадратного уравнения вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) существует формула для сумм и произведений корней:
- Сумма корней: ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} )
- Произведение корней: ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} )
Для нашего уравнения ( 7x^2 - 8x + c = 0 ):
- ( a = 7 )
- ( b = -8 )
- ( c = c )
Теперь найдем сумму корней:
[
x_1 + x_2 = -\frac{-8}{7} = \frac{8}{7}
]
Разность корней задана как ( x_1 - x_2 = \frac{6}{7} ).
Мы можем выразить ( x_1 ) и ( x_2 ) через сумму и разность корней:
[
x_1 = \frac{(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2)}{2} = \frac{\frac{8}{7} + \frac{6}{7}}{2} = \frac{\frac{14}{7}}{2} = 1
]
[
x_2 = \frac{(x_1 + x_2) - (x_1 - x_2)}{2} = \frac{\frac{8}{7} - \frac{6}{7}}{2} = \frac{\frac{2}{7}}{2} = \frac{1}{7}
]
Теперь, имея корни ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = \frac{1}{7} ), находим произведение корней:
[
x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{7}
]
Используя формулу для произведения корней:
[
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{7}
]
Приравниваем:
[
\frac{c}{7} = \frac{1}{7}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 7:
[
c = 1
]
Таким образом, найденное значение ( c ) равно:
[
\boxed{1}
]
