Известно, что 𝑥1, 𝑥2 – корни уравнения 7𝑥 2 − 8𝑥 + 𝑐 = 0, причем их разность равна 6 7 . Найдите 𝑐.
Чтобы найти значение \( c \) в уравнении \( 7x^2 - 8x + c = 0 \), зная, что разность корней \( x_1 \) и \( x_2 \) равна \( \frac{6}{7} \), мы воспользуемся некоторыми свойствами корней квадратного уравнения.
Для квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) существует формула для сумм и произведений корней:
- Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
- Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
Для нашего уравнения \( 7x^2 - 8x + c = 0 \):
- \( a = 7 \)
- \( b = -8 \)
- \( c = c \)
Теперь найдем сумму корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-8}{7} = \frac{8}{7} \]
Разность корней задана как \( x_1 - x_2 = \frac{6}{7} \).
Мы можем выразить \( x_1 \) и \( x_2 \) через сумму и разность корней:
\[ x_1 = \frac{(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2)}{2} = \frac{\frac{8}{7} + \frac{6}{7}}{2} = \frac{\frac{14}{7}}{2} = 1 \]
\[ x_2 = \frac{(x_1 + x_2) - (x_1 - x_2)}{2} = \frac{\frac{8}{7} - \frac{6}{7}}{2} = \frac{\frac{2}{7}}{2} = \frac{1}{7} \]
Теперь, имея корни \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = \frac{1}{7} \), находим произведение корней:
\[ x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{7} \]
Используя формулу для произведения корней:
\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{7} \]
Приравниваем:
\[ \frac{c}{7} = \frac{1}{7} \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 7:
\[ c = 1 \]
Таким образом, найденное значение \( c \) равно: \[ \boxed{1} \]
